二项分布

把一个只有“是”和“否”的试验独立地重复$n$次，每次“是”的概率都是$p$，“是”的次数$X$就服从二项分布：$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$，$k = 0, 1, \dots, n$。在高尔顿板上，每一行钉子是一次试验，向右拐算一次“是”，球落进第几格就是它向右拐了几次。描边的柱子是精确的概率；放下的球按频率把它们填起来。

公式的两个因子从哪来？落进第$k$格的球，向右拐了$k$次、向左拐了$n - k$次，只是先后不同。每次拐弯互相独立，$p$又始终不变，所以这样的每条路概率都相同，一颗钉子乘一个因子：$p^k(1 - p)^{n-k}$。这样的路有多少条，就是从$n$行里挑出哪$k$行向右，共$\binom{n}{k}$种；一颗颗钉子数过去，每颗钉子的路数等于上面两颗之和，正是杨辉三角的加法。少了这些条件，就不能保证用这个乘积算出一条路的概率。最常见的是不放回地发牌：下一张是红桃的机会取决于已经发出的牌，所以一手牌里的红桃张数服从超几何分布，不是二项分布。

为什么路最多的格子不一定最可能？先看$0 < p < 1$。钉板中间的路最多，但$p \ne 1/2$时，中间的每条路都不如多拐几次“更容易的那一边”的路可能。“拆成两个因子”在对数刻度上画出这场拉锯，乘积在那里变成和：路数是一道拱，一条路的机会是斜率为$\ln\frac{p}{1-p}$的直线，直线把拱压斜。比较相邻两格能精确找到峰：$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$，只要$k < (n+1)p - 1$它就大于1。所以最可能的次数是$\lfloor (n+1)p \rfloor$；$(n+1)p$恰好是整数时，它和下面一格并列。

均值和散布是多少？把每次“是”记1、“否”记0，$X$就是$n$个这样的分数之和，每个的均值是$p$，方差是$p(1 - p)$。均值总能相加，试验独立时方差也能相加：$X$的均值是$np$，标准差是$\sqrt{np(1 - p)}$。固定$n$时，$p = 1/2$散得最开；$p$越接近0或1，散布越接近零，到了端点每次答案都一样。放完一轮，读数条把这些球的均值和标准差放在理论值旁边；这些数每轮都会有起伏，因为球只是一份样本。$np(1 - p)$不再很小时，柱子看起来像一口钟，原因见中心极限定理。