Distribución binomial

Repite $n$ veces un ensayo de sí o no, de forma independiente y con la misma probabilidad $p$ de «sí» cada vez. El número de síes $X$ sigue entonces una distribución binomial: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ para $k = 0, 1, \dots, n$. En el tablero de Galton cada fila de clavijas es un ensayo y un giro a la derecha es un sí, así que la casilla de llegada cuenta los giros a la derecha. Los contornos de las barras muestran las probabilidades exactas; las bolas que sueltas los rellenan con frecuencias observadas.

¿De dónde salen los dos factores? Una bola que termina en la casilla $k$ ha girado $k$ veces a la derecha y $n - k$ a la izquierda, en algún orden. Como los giros son independientes y $p$ no cambia, todos esos caminos tienen la misma probabilidad, con un factor por clavija: $p^k(1 - p)^{n-k}$. El número de caminos es el número de formas de elegir en cuáles $k$ de las $n$ filas se gira a la derecha, $\binom{n}{k}$. Al contar clavija a clavija, a cada una llegan los caminos de las dos superiores: así se suma en el triángulo de Pascal. Sin esas condiciones, el producto no tiene por qué dar la probabilidad de un camino. Repartir cartas sin reposición es un ejemplo habitual: la probabilidad de que la siguiente sea de corazones depende de las ya repartidas, así que el número de corazones en una mano sigue una distribución hipergeométrica, no binomial.

¿Por qué la casilla con más caminos no siempre es la más probable? Supongamos $0 < p < 1$. El centro del tablero tiene más caminos, pero cuando $p \ne 1/2$, cada uno es menos probable que un camino con más giros hacia el lado más probable. «Separar en factores» muestra esta competencia en escala logarítmica, donde el producto se convierte en suma: el número de caminos forma un arco, la probabilidad de un camino es una recta de pendiente $\ln\frac{p}{1-p}$, y la recta inclina el arco. Las casillas vecinas dan el máximo exacto: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, que supera 1 mientras $k < (n+1)p - 1$. Por tanto, la cantidad más probable es $\lfloor (n+1)p \rfloor$; cuando $(n+1)p$ es un entero, empata con la casilla inmediatamente inferior.

¿Cuáles son la media y la dispersión? Asigna 1 a cada sí y 0 a cada no; entonces $X$ es la suma de $n$ valores, cada uno con media $p$ y varianza $p(1 - p)$. Las medias siempre se suman; en ensayos independientes, también las varianzas. Así, $X$ tiene media $np$ y desviación estándar $\sqrt{np(1 - p)}$. Para $n$ fijo, la dispersión es máxima en $p = 1/2$ y tiende a cero cuando $p$ se acerca a 0 o 1; en los extremos, cada ensayo da la misma respuesta. Tras una tanda, el indicador coloca la media y la desviación estándar de las bolas junto a estos valores teóricos. Varían entre tandas porque las bolas son una muestra. Cuando $np(1 - p)$ deja de ser pequeño, las barras parecen una campana; el teorema central del límite explica por qué.