二項分布

把一個只有「是」與「否」的試驗獨立地重複$n$次，每次「是」的機率都是$p$，「是」的次數$X$就服從二項分布：$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$，其中$k = 0, 1, \dots, n$。在高爾頓板上，每一列釘子是一次試驗，向右轉算一次「是」，球落進第幾格就是它向右轉了幾次。長條的外框代表精確機率；放下的球則以相對次數填出長條。

公式的兩個因子從哪來？落進第$k$格的球，曾以某種順序向右轉$k$次、向左轉$n - k$次。每次轉向彼此獨立，$p$又始終不變，因此這些路徑的機率都相同，每顆釘子乘上一個因子：$p^k(1 - p)^{n-k}$。路徑數就是從$n$列中選出哪$k$列向右轉的方法數，也就是$\binom{n}{k}$。一顆顆釘子數過去，每顆釘子的路徑數等於上方兩顆的總和，正是巴斯卡三角形的加法。少了這些條件，這個乘積就未必能算出一條路徑的機率。常見例子是不放回地發牌：下一張是紅心的機率取決於已發出的牌，因此一手牌中的紅心張數服從超幾何分布，而非二項分布。

為什麼路徑最多的格子不一定最容易接到球？先看$0 < p < 1$。釘板中間的路徑最多，但$p \ne 1/2$時，每條路徑的機率都比不上朝較容易的一側多轉幾次的路徑。「拆成兩個因子」在對數刻度上畫出這場拉鋸，乘積在此變成總和：路徑數是一道拱形，單一路徑的機率是斜率為$\ln\frac{p}{1-p}$的直線，這條直線把拱形壓斜。比較相鄰兩格即可精確找到頂點：$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$，只要$k < (n+1)p - 1$，這個比值就大於1。因此最可能的次數是$\lfloor (n+1)p \rfloor$；$(n+1)p$恰好為整數時，它與少一次的那一格並列。

平均數與離散程度是多少？把每次「是」記為1、「否」記為0，$X$就是$n$個數值的總和，每個的平均數為$p$、變異數為$p(1 - p)$。平均數總能相加，試驗獨立時變異數也能相加：$X$的平均數為$np$，標準差為$\sqrt{np(1 - p)}$。固定$n$時，$p = 1/2$的離散程度最大；$p$越接近0或1，離散程度越接近零，到了端點每次答案都相同。放完一輪，讀數會將這些球的平均數與標準差列在理論值旁；這些數字每輪都有變化，因為球只是一份樣本。當$np(1 - p)$不再很小時，長條看起來像一口鐘，原因見中央極限定理。