이항분포

예 또는 아니요가 나오는 시행을 매번 ‘예’의 확률 $p$를 유지하며 독립적으로 $n$번 반복합니다. 그러면 예의 횟수 $X$는 이항분포를 따릅니다. $k = 0, 1, \dots, n$일 때 $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$입니다. 골턴 보드에서는 핀의 각 행이 한 번의 시행이며 오른쪽으로 가는 것이 예이므로, 공이 들어가는 칸의 번호가 오른쪽으로 간 횟수입니다. 막대의 윤곽선은 정확한 확률을 나타내고, 떨어뜨린 공이 관측된 상대도수로 그 안을 채웁니다.

두 인수는 어디서 나올까요? $k$번 칸에 도착한 공은 어떤 순서로든 오른쪽으로 $k$번, 왼쪽으로 $n - k$번 갔습니다. 방향 선택이 독립이고 $p$가 변하지 않으므로 이런 경로의 확률은 모두 같습니다. 핀마다 인수를 하나씩 곱하면 $p^k(1 - p)^{n-k}$입니다. 경로 수는 $n$개 행 중 오른쪽으로 갈 $k$개 행을 고르는 방법의 수인 $\binom{n}{k}$입니다. 핀마다 세어 보면 각 핀에는 바로 위 두 핀에서 오는 경로가 모입니다. 이것이 파스칼 삼각형의 덧셈입니다. 이 조건들이 없으면 그 곱이 경로의 확률을 나타낸다고 할 수 없습니다. 흔한 예는 돌려놓지 않고 카드를 나누는 경우입니다. 다음 카드가 하트일 확률이 이미 나눈 카드에 따라 달라지므로, 한 손에 받은 하트 수는 이항분포가 아닌 초기하분포를 따릅니다.

경로가 가장 많은 칸이 왜 항상 가장 가능성이 크지는 않을까요? $0 < p < 1$인 경우를 봅시다. 판의 가운데로 가는 경로가 가장 많지만, $p \ne 1/2$이면 각 경로의 확률은 더 가능성 높은 쪽으로 더 많이 간 경로보다 작습니다. ‘두 인수로 나누기’는 곱이 합으로 바뀌는 로그 눈금에서 이 경쟁을 보여 줍니다. 경로 수는 아치를, 한 경로의 확률은 기울기가 $\ln\frac{p}{1-p}$인 직선을 이루며, 직선이 아치를 기울입니다. 이웃한 칸을 비교하면 꼭대기를 정확히 구할 수 있습니다. 그 비율은 $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$이며, $k < (n+1)p - 1$인 동안 1보다 큽니다. 따라서 가장 가능성 큰 횟수는 $\lfloor (n+1)p \rfloor$이며, $(n+1)p$가 정수이면 바로 아래 번호의 칸과 확률이 같습니다.

평균과 퍼짐은 얼마일까요? 각 예를 1, 각 아니요를 0으로 두면 $X$는 $n$개 값의 합이고, 각 값의 평균은 $p$, 분산은 $p(1 - p)$입니다. 평균은 언제나 더할 수 있으며, 독립 시행에서는 분산도 더할 수 있습니다. 따라서 $X$의 평균은 $np$, 표준편차는 $\sqrt{np(1 - p)}$입니다. $n$을 고정하면 퍼짐은 $p = 1/2$일 때 가장 크고, $p$가 0이나 1에 가까워질수록 0에 가까워집니다. 양 끝에서는 모든 시행의 결과가 같습니다. 한 차례 공을 떨어뜨린 뒤에는 공의 평균과 표준편차가 이 이론값 옆에 표시됩니다. 공은 표본이므로 이 값들은 실행할 때마다 달라집니다. $np(1 - p)$의 값이 더 이상 작지 않으면 막대가 종 모양을 띠며, 그 이유는 중심극한정리로 설명됩니다.