베이즈 정리

베이즈 정리는 원인이 주어졌을 때 결과의 확률을, 결과가 주어졌을 때 원인의 확률로 바꿉니다. $P(B) > 0$인 모든 사건 $B$에 대해 $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$가 성립합니다. 여기서 $A$는 질병이 있는 사건, $B$는 검사 결과입니다. 검사는 민감도 $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{질병 있음})$ 및 특이도 $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{질병 없음})$으로, 집단은 유병률 $p = P(\text{질병 있음})$으로 나타냅니다. 정사각형은 이 두 기준에 따라 집단을 넓이가 비례하는 네 영역으로 나누며, 아래의 증거 눈금자는 같은 갱신을 오즈 위의 한 걸음으로 보여 줍니다.

정확한 검사에서 양성이 나와도 왜 질병일 가능성은 낮을 수 있을까요? 민감도는 질병이 있는 사람이 양성일 확률입니다. 양성이 나온 사람은 그 반대, 즉 자신에게 질병이 있을 확률을 알아야 합니다. 이를 구하려면 양성자만 남겨 전체 집단으로 보고, 그중 질병이 있는 사람의 비율을 구하면 됩니다.

분모는 $P(+)$입니다. 소수의 질병 보유자에서 나오는 진양성과, 다수의 비보유자에서 나오는 위양성을 더한 값입니다. 질병이 드물면 작은 위양성률 $1 - \mathrm{Sp}$도 거의 모든 사람에게 적용되므로 위양성 수가 진양성 수를 넘을 수 있습니다. 레버가 보여 주는 과정이 바로 이것입니다. 색칠된 두 영역이 정사각형 전체가 되고, 질병이 있는 영역의 너비가 답이 됩니다.

검사 자체는 무엇을 더할까요? 질병이 있는 쪽의 식을 없는 쪽의 같은 식으로 나누면 $P(+)$가 약분됩니다. 사후 오즈는 사전 오즈 $p : (1 - p)$에 우도비 $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$를 곱한 값이며, 음성 후에는 $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$를 곱합니다. 우도비는 검사에, 사전 오즈는 검사받는 사람들에게 달려 있습니다. 눈금자는 오즈의 로그 눈금을 쓰므로 곱셈이 덧셈이 됩니다. 계산자와 같은 원리입니다(로그 참조). 결과 하나는 사전 값이 어디 있든 길이가 일정한 한 걸음입니다. 드문 질병으로 왼쪽 멀리에서 출발하면 $\mathrm{LR}^+$ 값이 유한한 검사로 한 걸음을 가도 가운데에 닿지 못할 수 있습니다. 위양성이 없는 검사만 양성 우도비가 무한대입니다. 유용한 검사($\mathrm{LR}^- < 1$)의 음성은 반대쪽으로 가지만, 어디서 출발하든 걸음 길이는 같습니다. 사전에 질병일 가능성이 클수록 남는 확률도 큽니다. 단, 질병이 있는 사람을 절대 놓치지 않는 검사($\mathrm{LR}^- = 0$)는 예외입니다.

또 한 번의 양성은 무엇을 알려 줄까요? 질병이 있는 사람들 안에서, 그리고 없는 사람들 안에서 각각 반복 결과가 독립이며 매번 검사 성능도 같다고 가정합시다. 그러면 양성마다 오즈에 같은 $\mathrm{LR}^+$를 곱하고, 양성이 $k$번 나온 뒤의 오즈는 사전 오즈에 $(\mathrm{LR}^+)^k$를 곱한 값입니다. 정사각형에서는 양성마다 집단을 다시 나누고 또 양성이 나온 부분만 남깁니다. 실제 반복 검사에서는 이 가정이 흔히 깨집니다. 검사에 우연히 반응하는 항체처럼 사람에게서 비롯된 오류는 다시 나타나기 쉬워서, 두 번째 양성이 더하는 증거는 공식의 계산보다 적습니다.