ベイズの定理

ベイズの定理は、原因がわかっているときの結果の確率を、結果がわかっているときの原因の確率に変換します。$P(B) > 0$を満たす任意の事象$B$について、$P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$が成り立ちます。ここでは$A$は病気であること、$B$は検査結果です。検査は感度$\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{病気})$と特異度$\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{病気でない})$、集団は有病率$p = P(\text{病気})$で表します。正方形はこの2つの分け方で集団を4つの比例した面積に分け、その下の証拠の定規は、同じ更新をオッズ上の一歩として示します。

正確な検査で陽性でも、なぜ病気の可能性が低いままなのでしょうか。感度は、病気の人が陽性になる確率です。陽性になった人が知りたいのは逆向き、つまり病気である確率です。求めるには、陽性者だけを残して集団全体と考え、その中に病気の人が占める割合を見ます。

分母は$P(+)$です。少数の病気の人から出る真陽性と、多数の病気でない人から出る偽陽性を足しています。病気がまれなら、小さな偽陽性率$1 - \mathrm{Sp}$でもほぼ全員にかかるため、偽陽性が真陽性を上回ることがあります。レバーが示すのはこの操作です。色のついた2つの区画が正方形全体になり、病気の区画の幅が答えになります。

検査自体は何をもたらすのでしょうか。病気の人についての式を、病気でない人についての同じ式で割ると、$P(+)$が消えます。事後オッズは事前オッズ$p : (1 - p)$に尤度比$\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$を掛けたもの、陰性後なら$\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$を掛けたものです。尤度比は検査の性質、事前オッズは検査を受ける人々の性質です。定規はオッズの対数で目盛られているため、掛け算が足し算になります（計算尺と同じです。対数参照）。1つの結果は、事前の位置がどこでも一定の長さの一歩です。まれな病気で左の遠くから出発すると、$\mathrm{LR}^+$が有限の検査では、一歩で中央まで届かないことがあります。無限大になるのは偽陽性がない検査だけです。有用な検査（$\mathrm{LR}^- < 1$）の陰性は逆向きの一歩ですが、どこから始めても長さは同じです。事前に病気らしいほど、残る確率も高くなります。ただし病気の人を決して見逃さない検査（$\mathrm{LR}^- = 0$）は例外です。

もう一度の陽性は何を教えるのでしょうか。病気の人と病気でない人をそれぞれ別に見たとき、繰り返す結果が独立で、毎回の検査性能も同じだとします。すると陽性のたびにオッズに同じ$\mathrm{LR}^+$を掛け、$k$回の陽性後は事前オッズの$(\mathrm{LR}^+)^k$倍になります。正方形では陽性のたびに集団を再び分け、もう一度陽性になった部分だけを残します。実際の繰り返し検査では、この仮定が成り立たないことがよくあります。たとえば、たまたま検査に反応する抗体が体内にあるなど、本人に由来する誤りは繰り返されやすく、2回目の陽性が加える証拠は式が示すより少なくなります。