贝叶斯定理

贝叶斯定理把“已知原因时结果的概率”换成“已知结果时原因的概率”：对任何满足$P(B) > 0$的事件$B$，$P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$。本页里$A$是有病，$B$是一次检测结果；检测用灵敏度$\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{病})$和特异度$\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{没病})$描述，人群用患病率$p = P(\text{病})$描述。方块按这两种分法把人群分成四块，面积成比例；下面的证据尺把同一次更新画成几率上的一步。

检测很准，为什么测出阳性的人仍可能大多没病？灵敏度是有病的人测出阳性的概率；测出阳性的人想知道的是反过来的那个：自己有病的概率。求它的办法是只留下测出阳性的人，把他们当成全部，看其中有病的占多少：

分母是$P(+)$：少数病人里的真阳性，加上大多数没病的人里的假阳性。病越罕见，不大的假阳性率$1 - \mathrm{Sp}$乘上几乎所有人，就越可能比真阳性还多。拨杆演示的就是这一步：两块涂底色的阳性铺满整个方块，有病那一块的宽度就是答案。

检测本身带来了什么？把有病的式子除以没病的同一个式子，$P(+)$就约掉了：检测后的几率等于检测前的几率$p : (1 - p)$乘以似然比，阳性时是$\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$，阴性时是$\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$。似然比属于检测，检测前的几率属于来检测的人。证据尺按几率的对数刻度，乘法变成加法（和计算尺一样，见对数），一次结果就是从先验所在处走固定长度的一步。罕见病的起点在很左边，似然比有限的检测走一步可能还到不了中间；只有没有假阳性的检测，阳性的似然比才是无穷大。有用的检测（$\mathrm{LR}^- < 1$）给出阴性时往另一边走，但不管从哪里出发，这一步都一样长：事先越可能有病，阴性之后剩下的概率越高；只有从不漏掉病人的检测（$\mathrm{LR}^- = 0$）例外。

再一次阳性说明什么？假设在有病的人里、在没病的人里各自来看，重复检测的结果互相独立，每次表现也一样。那么每次阳性都把几率再乘以同一个$\mathrm{LR}^+$，$k$次阳性之后几率是检测前的几率乘以$(\mathrm{LR}^+)^k$；方块里每次阳性都把当前的人再分一次，留下又测出阳性的那部分。实际的重复检测常常不满足这个假设：错误如果出在人身上，比如体内恰好有会和试剂反应的抗体，下次往往还会出现，第二次阳性带来的证据就比公式算的少。