Теорема Байеса

Теорема Байеса превращает вероятность результата при известной причине в вероятность причины при известном результате: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ для любого события $B$ с $P(B) > 0$. Здесь $A$ — наличие болезни, а $B$ — результат теста. Тест описывают чувствительность $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{болен})$ и специфичность $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{здоров})$, а группу людей — распространённость болезни $p = P(\text{болен})$. Квадрат делит людей по обоим признакам на четыре пропорциональные площади, а линейка свидетельств под ним показывает то же обновление как шаг на шкале шансов.

Почему положительный результат точного теста всё ещё может оставлять болезнь маловероятной? Чувствительность — вероятность положительного результата у больного. Получившему положительный результат нужна обратная вероятность: вероятность быть больным. Чтобы найти её, оставьте только людей с положительным результатом и считайте их всей группой. Доля больных среди них и будет ответом.

Знаменатель — $P(+)$: истинноположительные результаты от немногих больных плюс ложноположительные от многочисленных людей без болезни. Если болезнь редкая, даже малая частота ложноположительных результатов $1 - \mathrm{Sp}$, применённая почти ко всем, может дать больше ложных положительных результатов, чем истинных. Это и показывает рычажок: два заштрихованных блока становятся всем квадратом, а ширина блока больных даёт ответ.

Что даёт сам тест? Разделите формулу для больных на такую же формулу для людей без болезни, и $P(+)$ сократится: апостериорные шансы равны априорным шансам $p : (1 - p)$, умноженным на отношение правдоподобия $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, а после отрицательного результата — на $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$. Отношение относится к тесту, априорные шансы — к людям, которые его проходят. Линейка имеет логарифмическую шкалу шансов, поэтому умножение становится сложением (как на логарифмической линейке, см. логарифм), а результат — шагом постоянной длины из любой исходной точки. Для редкой болезни далеко слева тест с конечным $\mathrm{LR}^+$ делает один шаг, который может не дойти до середины. Бесконечное отношение бывает только у теста без ложноположительных результатов. Отрицательный результат полезного теста ($\mathrm{LR}^- < 1$) ведёт в другую сторону, но длина шага не зависит от начала: чем вероятнее болезнь до теста, тем выше остающаяся вероятность. Исключение — тест, который никогда не пропускает больного ($\mathrm{LR}^- = 0$).

Что говорит ещё один положительный результат? Предположим, что отдельно среди больных и среди людей без болезни повторные результаты независимы, а тест каждый раз имеет те же характеристики. Тогда каждый положительный результат умножает шансы на одно и то же $\mathrm{LR}^+$. После $k$ положительных результатов шансы равны априорным, умноженным на $(\mathrm{LR}^+)^k$. В квадрате каждый положительный результат снова делит группу и оставляет тех, кто вновь получил положительный результат. Реальные повторные тесты часто нарушают это предположение: ошибка, связанная с самим человеком, например с антителом, случайно реагирующим в тесте, склонна повторяться. Второй положительный результат тогда добавляет меньше свидетельств, чем говорит формула.