Teorema de Bayes

O teorema de Bayes transforma a probabilidade de um resultado dada uma causa na probabilidade da causa dado o resultado: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ para qualquer acontecimento $B$ com $P(B) > 0$. Aqui, $A$ é ter uma doença e $B$ é um resultado de teste. O teste é descrito pela sensibilidade $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{doente})$ e pela especificidade $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{sem doença})$, e a população pela prevalência $p = P(\text{doente})$. Um quadrado divide a população segundo ambos os critérios em quatro áreas proporcionais; a régua de evidência por baixo mostra a mesma atualização como um passo nas odds.

Porque pode um positivo de um teste preciso deixar a doença pouco provável? A sensibilidade é a probabilidade de uma pessoa com a doença ter resultado positivo. Quem teve resultado positivo precisa do inverso: a probabilidade de ter a doença. Para a obter, mantém apenas as pessoas com resultado positivo e considera-as o grupo inteiro: a proporção das que têm a doença é a resposta.

O denominador é $P(+)$: os verdadeiros positivos entre as poucas pessoas com doença, mais os falsos positivos entre as muitas que não a têm. Quando a doença é rara, uma pequena taxa de falsos positivos $1 - \mathrm{Sp}$, aplicada a quase toda a gente, pode produzir mais falsos do que verdadeiros positivos. É isso que a alavanca mostra: os dois blocos sombreados tornam-se o quadrado inteiro e a largura do bloco com doença é a resposta.

O que acrescenta o próprio teste? Divide a fórmula das pessoas com doença pela correspondente fórmula das pessoas sem doença e $P(+)$ cancela-se: as odds posteriores são as odds prévias $p : (1 - p)$ multiplicadas pela razão de verosimilhança $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, ou por $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ após um negativo. A razão pertence ao teste, as odds prévias às pessoas testadas. A régua usa uma escala logarítmica das odds, por isso multiplicar torna-se somar (como numa régua de cálculo, ver logaritmo), e um resultado é um passo de comprimento fixo, qualquer que seja o ponto de partida. Para uma doença rara, muito à esquerda, um teste com $\mathrm{LR}^+$ finita dá um passo que pode não chegar ao meio; só um teste sem falsos positivos tem uma razão infinita. Um negativo de um teste útil ($\mathrm{LR}^- < 1$) dá um passo no sentido oposto, mas o comprimento é sempre o mesmo: quanto mais provável era a doença antes, maior a probabilidade que resta, a menos que o teste nunca deixe passar uma pessoa com a doença ($\mathrm{LR}^- = 0$).

O que diz outro positivo? Suponhamos que, entre as pessoas com doença e entre as pessoas sem doença separadamente, os resultados repetidos são independentes e o teste tem sempre o mesmo desempenho. Cada positivo multiplica então as odds pela mesma $\mathrm{LR}^+$; após $k$ positivos, as odds são as odds prévias multiplicadas por $(\mathrm{LR}^+)^k$. No quadrado, cada positivo volta a dividir o grupo e mantém apenas a parte que volta a testar positivo. Na realidade, testes repetidos violam muitas vezes esta hipótese: um erro que vem da pessoa, como um anticorpo que por acaso reage com o teste, tende a reaparecer. Um segundo positivo acrescenta então menos do que a fórmula indica.