Satz von Bayes

Der Satz von Bayes wandelt die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei gegebener Ursache in die Wahrscheinlichkeit der Ursache bei gegebenem Ergebnis um: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ gilt für jedes Ereignis $B$ mit $P(B) > 0$. Hier bedeutet $A$, krank zu sein, und $B$ ein Testergebnis. Der Test wird durch seine Sensitivität $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{krank})$ und Spezifität $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{gesund})$ beschrieben, die Bevölkerung durch ihre Prävalenz $p = P(\text{krank})$. Ein Quadrat teilt die Bevölkerung nach beiden Merkmalen in vier proportionale Flächen. Das Evidenzlineal darunter zeigt dieselbe Aktualisierung als Schritt auf der Odds-Skala.

Warum kann eine Erkrankung nach einem positiven Ergebnis eines genauen Tests trotzdem unwahrscheinlich sein? Die Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person positiv getestet wird. Wer positiv getestet wurde, braucht aber die umgekehrte Wahrscheinlichkeit: die, krank zu sein. Dazu betrachten wir nur die positiv Getesteten als ganze Gruppe. Der Anteil der Erkrankten unter ihnen ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Der Nenner ist $P(+)$: richtig positive Ergebnisse aus der kleinen Gruppe der Erkrankten plus falsch positive aus der großen Gruppe der Gesunden. Bei einer seltenen Krankheit kann selbst eine kleine Falsch-positiv-Rate $1 - \mathrm{Sp}$, angewandt auf fast alle Personen, mehr falsch als richtig positive Ergebnisse liefern. Genau das zeigt der Hebel: Die beiden schattierten Blöcke werden zum ganzen Quadrat, und die Breite des Krankenblocks ist die Antwort.

Was trägt der Test selbst bei? Teile die Formel für Erkrankte durch die entsprechende Formel für Gesunde, und $P(+)$ kürzt sich heraus: Die Odds nach dem Test sind die vorherigen Odds $p : (1 - p)$ multipliziert mit dem Likelihood-Quotienten $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$; nach einem negativen Ergebnis wird mit $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ multipliziert. Der Quotient gehört zum Test, die vorherigen Odds zu den getesteten Personen. Das Lineal ist nach dem Logarithmus der Odds skaliert. Multiplikation wird so zur Addition (wie beim Rechenschieber, siehe logarithmus), und ein Ergebnis ist ein Schritt fester Länge, unabhängig vom Ausgangspunkt. Bei einer seltenen Krankheit weit links kann ein Test mit endlichem $\mathrm{LR}^+$ einen Schritt machen, der noch nicht bis zur Mitte reicht. Nur ein Test ohne falsch positive Ergebnisse hat einen unendlichen Quotienten. Ein negatives Ergebnis eines nützlichen Tests ($\mathrm{LR}^- < 1$) führt in die andere Richtung, doch die Schrittlänge bleibt überall gleich: Je wahrscheinlicher die Erkrankung vorher war, desto höher bleibt ihre Wahrscheinlichkeit danach. Eine Ausnahme ist ein Test, der nie eine kranke Person übersieht ($\mathrm{LR}^- = 0$).

Was sagt ein weiteres positives Ergebnis aus? Nehmen wir an, wiederholte Ergebnisse sind innerhalb der Erkrankten und innerhalb der Gesunden jeweils unabhängig, und der Test funktioniert jedes Mal gleich. Dann multipliziert jedes positive Ergebnis die Odds mit demselben $\mathrm{LR}^+$. Nach $k$ positiven Ergebnissen sind es die ursprünglichen Odds mal $(\mathrm{LR}^+)^k$. Im Quadrat teilt jedes positive Ergebnis die verbleibende Gruppe erneut und behält nur die wieder positiv Getesteten. Echte Testwiederholungen verletzen diese Annahme oft: Ein Fehler, dessen Ursache in der Person liegt, etwa ein zufällig mit dem Test reagierender Antikörper, tritt meist erneut auf. Ein zweites positives Ergebnis liefert dann weniger zusätzliche Evidenz, als die Formel angibt.