Bayes teoremi

Bayes teoremi, neden verildiğinde sonucun olasılığını, sonuç verildiğinde nedenin olasılığına dönüştürür: $P(B) > 0$ koşulunu sağlayan her $B$ olayı için $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ geçerlidir. Burada $A$ hasta olmak, $B$ ise bir test sonucudur. Test, duyarlılık $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{hasta})$ ve özgüllük $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{sağlıklı})$ ile; topluluk, prevalans $p = P(\text{hasta})$ ile tanımlanır. Bir kare, topluluğu bu iki ölçüte göre orantılı dört alana ayırır; altındaki kanıt cetveli aynı güncellemeyi odds üzerinde bir adım olarak gösterir.

Doğru çalışan bir testten gelen pozitif sonuç neden hastalığı hâlâ düşük olasılıklı bırakabilir? Duyarlılık, hasta bir kişinin pozitif çıkma olasılığıdır. Pozitif çıkmış kişinin aradığı ise tersidir: hasta olma olasılığı. Bunu bulmak için yalnızca pozitif çıkanları tutup grubun tamamı olarak kabul edin; içlerindeki hastaların payı aranan olasılıktır.

Payda $P(+)$ olur: az sayıdaki hastadan gelen gerçek pozitifler ile çok sayıdaki sağlıklıdan gelen yanlış pozitiflerin toplamı. Hastalık nadirken küçük bir yanlış pozitif oranı $1 - \mathrm{Sp}$, neredeyse herkese uygulandığında gerçek pozitiflerden daha çok yanlış pozitif üretebilir. Kolun gösterdiği budur: iki taralı blok tüm kareye dönüşür ve hasta bloğunun genişliği yanıtı verir.

Testin kendisi ne katar? Hastalar için olan formülü sağlıklılar için olan aynı formüle bölünce $P(+)$ sadeleşir: sonsal odds, önsel odds $p : (1 - p)$ ile olabilirlik oranı $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$ çarpımıdır; negatiften sonra ise $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ ile çarpılır. Oran teste, önsel odds test edilen kişilere aittir. Cetvel odds değerinin logaritmasıyla ölçeklenir; böylece çarpma toplamaya dönüşür (hesap cetvelindeki gibi, bkz. logaritma) ve bir sonuç, önsel nerede olursa olsun sabit uzunlukta bir adımdır. Çok soldaki nadir bir hastalıktan başlanırsa $\mathrm{LR}^+$ değeri sonlu olan testin tek adımı ortaya ulaşmayabilir; bu oran yalnızca yanlış pozitif vermeyen testte sonsuzdur. Yararlı bir testin ($\mathrm{LR}^- < 1$) negatif sonucu diğer yöne gider, ama adım uzunluğu her başlangıçta aynıdır: hastalık önceden ne kadar olasıysa geriye kalan olasılık o kadar yüksektir. Hasta birini asla kaçırmayan test ($\mathrm{LR}^- = 0$) bunun istisnasıdır.

Bir pozitif daha ne söyler? Hastalar içinde ve sağlıklılar içinde ayrı ayrı bakıldığında tekrarlanan sonuçların bağımsız olduğunu ve testin her seferinde aynı performansı gösterdiğini varsayalım. O zaman her pozitif odds değerini aynı $\mathrm{LR}^+$ ile çarpar; $k$ pozitiften sonra odds, önsel odds ile $(\mathrm{LR}^+)^k$ çarpımı olur. Karede her pozitif grubu yeniden böler ve bir kez daha pozitif çıkan kısmı tutar. Gerçek tekrarlı testler bu varsayımı sık sık bozar: kişinin kendisinden kaynaklanan, örneğin testle tesadüfen tepkimeye giren bir antikorun yol açtığı hata tekrarlama eğilimindedir. Bu durumda ikinci pozitif, formülün söylediğinden daha az kanıt ekler.