p değeri

Hipotez testi, temel alınan iddia olan sıfır hipotezi $H_0$ altında verilerin şaşırtıcı olup olmayacağını sorar. Burada $H_0$, makinenin torbalara ortalama $\mu = 500$ g doldurduğunu söyler. Torba ağırlıkları bağımsızdır ve $\sigma = 10$ g ile normal dağılır; bir çalışma $n$ torbayı tartıp ortalamaları $\bar x$ değerini alır. p değeri, $H_0$ doğruymuş gibi hesaplanan, alternatif hipotez $H_1$ tarafından belirtilen yönde gözlenen ortalama kadar veya daha uç bir ortalama elde etme olasılığıdır. $\alpha = 0.05$ düzeyindeki test, $p < 0.05$ olduğunda alarm verir.

p tam olarak neyin olasılığıdır? $H_0$ altında $\bar X$ ortalaması, ortalaması 500 ve standart hatası $10/\sqrt{n}$ olan normal dağılıma uyar. Dolayısıyla gözlenen ortalama $z = (\bar x - 500)/(10/\sqrt{n})$ konumundadır. $H_1\!: \mu < 500$ için p değeri, $z$ değerinin solundaki alan olan $\Phi(z)$; $\mu > 500$ için sağdaki alan; $\mu \neq 500$ için iki kuyruğun alanı olan $2\Phi(-|z|)$ değeridir. Tekrarlar aynı şeyi sayarak gösterir: gerçekten ortalama 500 g dolduran bir makinede, ortalaması en az bu kadar uç olan çalışmaların oranı p yakınında kararlı hâle gelir. Yön, veriler görülmeden seçilmelidir. Sonradan iki tek yönlü p değerinin küçüğünü seçmek, $H_0$ doğruyken %10 olasılıkla alarm verir; bu, belirtilen oranın iki katıdır. Yön önceden sabitse p, $H_0$ altında 0 ile 1 arasında düzgün dağılır; dolayısıyla yanlış alarm olasılığı tam olarak $\alpha$ olur.

p neden $H_0$ hipotezinin doğru olma olasılığı değildir? Tamamen $H_0$ hipotezinin geçerli olduğu dünyada hesaplanır: $P(\text{en az bu kadar uç bir ortalama} \mid H_0)$ olasılığıdır, $P(H_0 \mid \text{veriler})$ değil. Koşulu tersine çevirmek, p’nin hiç kullanmadığı iki büyüklük gerektirir: eksik dolduran makinelerin başlangıçta ne kadar yaygın olduğu ve testin böyle bir makinede alarm verme olasılığı olan güç. 25 torba ve 3 g eksiklik için güç yaklaşık $\Phi(1.5 - 1.645)$ olur. Bayes teoremi odds biçiminde yazıldığında, bir alarm, eksik doldurma ile doğru doldurmanın odds değerini güç ÷ $\alpha$ ile çarpar. Bu çarpan burada yaklaşık 8,85’tir; önsel odds 1 : 4’ten yaklaşık 2,2 : 1’e çıkar. Aynı alarmdan sonra, makinelerin %80’i eksik dolduruyorsa alarmlar içinde doğru dolduran makinelerin payı yaklaşık %2,7, %5’i eksik dolduruyorsa yaklaşık %68 olur. Bu oranlar yalnızca alarm verilmiş olmasını kullanır; $\bar x$ değerinin kendisi daha fazla bilgi taşır.

Çok küçük bir fark neden anlamlı olabilir? Gözlenen eksiklik sabitken $|z| = |\bar x - 500|\sqrt{n}/\sigma$, $\sqrt{n}$ ile büyür; daha çok torba tartıldıkça sol kuyruk p değeri küçülür. Torba sayısının dört katına çıkması $|z|$ değerini ikiye katlar. Sol kuyruk testinde 500’ün yarım gram altı, 1083 torbadan itibaren $\alpha = 0.05$ düzeyinde anlamlıdır. Küçük p, $\mu$ tam olarak 500 olsaydı verilerin sıra dışı olacağını söyler; farkın pratikte önemli olduğunu söylemez. Tersi de geçerli değildir: gerçek bir eksiklik çoğu zaman alarm vermez; dolayısıyla $p > 0.05$, makinenin doğru doldurduğunu göstermez. Farkın büyüklüğünü bir güven aralığı ile birlikte bildirin: $\alpha = 0.05$ düzeyindeki çift yönlü test, ancak ve ancak %95 aralığı $\bar x \pm z^*\sigma/\sqrt{n}$ ($z^* \approx 1.96$) 500’ü dışarıda bırakıyorsa $\mu = 500$ hipotezini reddeder.