القيمة الاحتمالية

يسأل اختبار الفرضيات عما إذا كانت البيانات مستغربة تحت ادعاء مبدئي، هو الفرضية الصفرية ⁦$H_0$⁩. هنا تقول ⁦$H_0$⁩ إن الآلة تعبّئ الأكياس بمتوسط ⁦$\mu = 500$ g⁩. أوزان الأكياس مستقلة وتتبع توزيعًا طبيعيًا حيث ⁦$\sigma = 10$ g⁩؛ وتزن الدراسة ⁦$n$⁩ من الأكياس وتحسب متوسطها ⁦$\bar x$⁩. القيمة الاحتمالية هي احتمال متوسط لا يقل تطرفًا عن المتوسط المرصود، محسوبًا كما لو كانت ⁦$H_0$⁩ صحيحة، في الاتجاه الذي تحدده الفرضية البديلة ⁦$H_1$⁩. يطلق اختبار بمستوى ⁦$\alpha = 0.05$⁩ إنذارًا عندما ⁦$p < 0.05$⁩.

ما الحدث الذي تمثل ⁦p⁩ احتماله بالضبط؟ تحت ⁦$H_0$⁩ يتبع المتوسط ⁦$\bar X$⁩ توزيعًا طبيعيًا بمتوسط ⁦500⁩ وخطأ معياري ⁦$10/\sqrt{n}$⁩، لذا يقع المتوسط المرصود عند ⁦$z = (\bar x - 500)/(10/\sqrt{n})$⁩. في حالة ⁦$H_1\!: \mu < 500$⁩، تكون القيمة الاحتمالية هي المساحة يسار ⁦$z$⁩، أي ⁦$\Phi(z)$⁩؛ وفي حالة ⁦$\mu > 500$⁩ هي المساحة يمينًا؛ وفي حالة ⁦$\mu \neq 500$⁩ هي الذيلان، ⁦$2\Phi(-|z|)$⁩. تعرض التكرارات الأمر نفسه بالعد: على آلة تعبّئ فعلًا ⁦500 g⁩ في المتوسط، تستقر نسبة الدراسات التي تعطي متوسطًا لا يقل تطرفًا قرب ⁦p⁩. يجب اختيار الاتجاه قبل رؤية البيانات. اختيار الأصغر من القيمتين الاحتماليتين أحاديتي الطرف بعد ذلك يطلق إنذارًا باحتمال ⁦10%⁩ عندما تكون ⁦$H_0$⁩ صحيحة، أي ضعف المعدل المعلن. وعند تثبيت الاتجاه مسبقًا، تتوزع ⁦p⁩ بانتظام بين ⁦0⁩ و⁦1⁩ تحت ⁦$H_0$⁩، فيكون احتمال الإنذار الكاذب مساويًا تمامًا لـ⁦$\alpha$⁩.

لماذا ليست ⁦p⁩ احتمال صحة ⁦$H_0$⁩؟ إنها تُحسب بالكامل داخل عالم ⁦$H_0$⁩: فهي $P(\text{متوسط لا يقل تطرفًا} \mid H_0)$، وليست $P(H_0 \mid \text{البيانات})$. عكس الشرط يتطلب كميتين لا تستخدمهما ⁦p⁩: مدى شيوع الآلات ذات النقص أصلًا، وقوة الاختبار، أي احتمال إطلاقه إنذارًا على آلة ذات نقص. مع ⁦25⁩ كيسًا ونقص ⁦3 g⁩، تقارب القوة ⁦$\Phi(1.5 - 1.645)$⁩. وفق صيغة الأرجحية في مبرهنة بايز، يضرب الإنذار أرجحية «ذات نقص مقابل سليمة» في القوة ÷ ⁦$\alpha$⁩، أي نحو ⁦8.85⁩ هنا، فيحوّل الأرجحية القبلية ⁦1 : 4⁩ إلى نحو ⁦2.2 : 1⁩. بعد الإنذار نفسه، تبلغ نسبة الآلات السليمة بين الإنذارات نحو ⁦2.7%⁩ عندما تكون ⁦80%⁩ من الآلات ذات نقص، ونحو ⁦68%⁩ عندما تكون نسبتها ⁦5%⁩. تستخدم هذه النسب مجرد وقوع الإنذار؛ أما قيمة ⁦$\bar x$⁩ نفسها فتقدم معلومات إضافية.

لماذا قد يكون فرق ضئيل دالًا إحصائيًا؟ عند تثبيت النقص المرصود، تزداد ⁦$|z| = |\bar x - 500|\sqrt{n}/\sigma$⁩ مع ⁦$\sqrt{n}$⁩، فتقل القيمة الاحتمالية للذيل الأيسر كلما وُزن المزيد من الأكياس: زيادة عدد الأكياس إلى أربعة أمثاله تجعل ⁦$|z|$⁩ مثلي قيمته. في اختبار الذيل الأيسر، يصبح نقص نصف غرام عن ⁦500⁩ دالًا عند ⁦$\alpha = 0.05$⁩ بدءًا من ⁦1083⁩ كيسًا. تقول ⁦p⁩ الصغيرة إن البيانات ستكون غير مألوفة لو كانت ⁦$\mu$⁩ تساوي ⁦500⁩ بالضبط؛ ولا تقول إن الفرق مهم عمليًا. ولا يصح العكس أيضًا: النقص الحقيقي كثيرًا ما لا يطلق إنذارًا، لذا لا تثبت ⁦$p > 0.05$⁩ أن الآلة سليمة. اعرض مقدار الفرق مع فترة الثقة: يرفض الاختبار ثنائي الطرف عند ⁦$\alpha = 0.05$⁩ الفرضية ⁦$\mu = 500$⁩ إذا وفقط إذا كانت فترة ⁦95%⁩، وهي ⁦$\bar x \pm z^*\sigma/\sqrt{n}$⁩ (⁦$z^* \approx 1.96$⁩)، لا تحتوي ⁦500⁩.