القوة الإحصائية

قوة الاختبار هي احتمال رفضه الفرضية الصفرية $H_0$ عندما تكون حالة بديلة محددة صحيحة. هنا تنص $H_0$ على أن الآلة تعبّئ الأكياس بمتوسط $\mu = 500$ غرام؛ وأوزان الأكياس مستقلة وتتبع توزيعًا طبيعيًا مع $\sigma = 10$ غرام. تزن الدراسة $n$ من الأكياس، وترفض $H_0$ عند المستوى $\alpha$ إذا وقع متوسطها $\bar x$ وراء قيمة حرجة. القوة عند متوسط حقيقي $\mu$ هي مساحة المنحنى الحقيقي وراء تلك القيمة؛ أما الباقي، $\beta$، فهو احتمال تفويت الفارق، أي خطأ من النوع الثاني. عند $\mu = 500$ لا يوجد فارق يمكن تفويته، وتساوي القوة $\alpha$ نفسها.

على ماذا تعتمد القوة؟ لاختبار $H_1\!: \mu < 500$ مع نقص $\delta = 500 - \mu$، تكون القوة $\Phi(\delta\sqrt{n}/\sigma - z_{1-\alpha})$. يرفعها فارق أكبر أو عدد أكبر من الأكياس؛ أما تشديد $\alpha$ فيُبعد القيمة الحرجة عن ⁦500⁩ ويخفض القوة. ولأن $n$ لا يدخل إلا من خلال $\sqrt{n}$، فإن عدد الأكياس اللازم لقوة معينة يتناسب مع $1/\delta^2$. والاتجاه مهم بالقدر نفسه: إذا كانت الآلة تعبّئ أكثر من المطلوب، فإن قوة اختبار $\mu < 500$ تقترب من ⁦0⁩، وزيادة الأكياس تخفضها أكثر. يوزّع الاختبار ثنائي الطرف $\alpha$ بين الذيلين، فيكتشف الفارق في أي جانب؛ لكنه أقل قوة من الاختبار أحادي الطرف في الجانب الذي يراقبه ذلك الاختبار.

لماذا لا تعني النتيجة غير الدالة إحصائيًا عدم وجود فرق؟ لأن الاختبار الضعيف القوة يفوّت عادةً فرقًا حقيقيًا. مع ⁦25⁩ كيسًا و$\alpha = 0.05$، لا يكتشف الاختبار أحادي الطرف نقص ⁦2 g⁩ إلا في نحو ربع الحالات؛ لذا تنتهي معظم الدراسات لهذه الآلة بنتيجة غير دالة. تعتمد قيمة هذه النتيجة على القوة في مواجهة فارق يستحق اكتشافه. ويُحسب ذلك قبل رؤية البيانات: نختار أصغر فارق مهم، ثم $n$ الذي يوفّر قوة كافية، وغالبًا ما تكون ⁦80%⁩.

لماذا تبالغ التقديرات الدالة إحصائيًا في الفارق في المتوسط عندما تكون القوة ضعيفة؟ لنأخذ آلة تعبّئ فعلًا أقل من المطلوب، ونختبرها للكشف عن النقص. وحدها الدراسات التي يقع متوسطها مصادفةً أدنى بكثير من ⁦500⁩ تتجاوز الحد الحرج، فتكون الدراسات الدالة مجموعة منتقاة. متوسط تقديراتها هو متوسط الجزء من المنحنى الحقيقي الواقع وراء الحد، ويقابل نقصًا أكبر من الحقيقي. يفرض الحد نفسه حدًا أدنى: مع ⁦25⁩ كيسًا و$\alpha = 0.05$، يجب أن تقدّر النتيجة الدالة نقصًا يزيد على نحو ⁦3.29 g⁩، مهما كان النقص الحقيقي. عند تثبيت $n$ و$\alpha$، كلما صغر النقص الحقيقي ضعفت القوة وزاد معامل المبالغة في التقديرات الدالة في المتوسط؛ وهذا خطأ من النوع M (المقدار). وفي الاختبار ثنائي الطرف، تشير بعض النتائج الدالة حتى إلى الاتجاه الخطأ؛ وهذا خطأ من النوع S (الإشارة). ومجموعة الأبحاث التي لا تبلّغ إلا عن النتائج الدالة تحمل هذا التحيز.