توزيع المعاينة

الإحصاءة عدد يُحسب من عينة، مثل متوسطها أو وسيطها. اسحب مرارًا عينات مستقلة من الحجم نفسه ⁦$n$⁩ من مجتمع واحد، واحسب الإحصاءة كل مرة؛ فتشكّل القيم توزيع معاينتها. قيمتها المتوقعة ناقص القيمة الحقيقية هي التحيز، وانحرافها المعياري هو الخطأ المعياري. تفصل الطبقات الثلاث ثلاثة توزيعات: المجتمع، وقيم العينة الواحدة وعددها ⁦$n$⁩، وتوزيع المعاينة بنقطة لكل عينة.

لماذا تبقى العينة الواحدة واسعة بينما تتقارب المتوسطات؟ العينة نسخة تقريبية من المجتمع، لذا مع ازدياد ⁦$n$⁩ يستقر انحرافها المعياري ⁦$s$⁩ قرب انحراف المجتمع ⁦$\sigma$⁩ بدل أن يتقلص. متوسط ⁦$n$⁩ قيم مستقلة يتصرف بشكل مختلف: القيم فوق المركز وتحته تعوّض بعضها جزئيًا. ولكل مجتمع ذي تباين منتهٍ، ⁦$\operatorname{Var}(\bar x) = \sigma^2/n$⁩، لذا فإن الخطأ المعياري للمتوسط هو ⁦$\sigma/\sqrt{n}$⁩. مضاعفة حجم العينة أربع مرات تخفضه إلى النصف. فالخطأ المعياري ليس تشتت عينة واحدة؛ بل يصف مقدار تغير المتوسط من عينة إلى أخرى. وتفسّر مبرهنة النهاية المركزية لماذا تتخذ المتوسطات أيضًا شكل الجرس.

لماذا يُقسم تباين العينة على ⁦$n - 1$⁩؟ تحقق كل عينة ⁦$\sum (x - \mu)^2 = \sum (x - \bar x)^2 + n(\bar x - \mu)^2$⁩. يكون مجموع مربعات الانحرافات أصغر ما يمكن عند قياسها من متوسط العينة نفسها؛ ويقل عن المجموع المقاس من المتوسط الحقيقي بمقدار ⁦$n(\bar x - \mu)^2$⁩. متوسط هذا الفرق يساوي تباين ⁦$\bar x$⁩ مضروبًا في ⁦$n$⁩، أي بالضبط ⁦$\sigma^2$⁩. لذلك يكون متوسط ⁦$\sum (x - \bar x)^2$⁩ هو ⁦$(n - 1)\sigma^2$⁩؛ والقسمة على ⁦$n - 1$⁩ تجعل ⁦$s^2$⁩ غير متحيز، بينما القسمة على ⁦$n$⁩ تعطي نقصًا متوسطه ⁦$\sigma^2/n$⁩. هذا التصحيح للتباين فقط: لأن دالة الجذر التربيعي مقعرة، تظل ⁦$s$⁩ نفسها تقلل تقدير ⁦$\sigma$⁩ في المتوسط (بنحو ⁦6%⁩ للبيانات الطبيعية عند ⁦$n = 5$⁩). أما نقص القيمة العظمى فسببه أبسط: في المجتمع المنتظم، كل قيمة أقل من ⁦100⁩، لذا يكون أكبر قيم العينة أقل من ⁦100⁩ في المتوسط أيضًا.

هل المتوسط دائمًا أفضل لتقدير المركز؟ يعتمد ذلك على المجتمع. في المجتمع المتناظر، يتمركز كل من المتوسط والوسيط حول المركز الحقيقي، فالأفضل هو الأصغر خطأً معياريًا. للبيانات الطبيعية، خطأ الوسيط المعياري أكبر: عندما تكون ⁦$n$⁩ كبيرة، يبلغ نحو ⁦$\sqrt{\pi/2} \approx 1.25$⁩ من خطأ المتوسط. ولبيانات لابلاس ذات الذيول الأثقل، يكون أصغر: في تقريب العينات الكبيرة نفسه، نحو ⁦$1/\sqrt{2} \approx 0.71$⁩ منه. قيمة متطرفة واحدة تحرك المتوسط لكنها بالكاد تحرك الوسيط، والذيول الثقيلة تنتج قيمًا متطرفة كثيرًا. في المجتمع غير المتناظر، قد يقدّر الاثنان عددين مختلفين: المجتمع الأسي هنا متوسطه ⁦50⁩ ووسيطه ⁦$40 + 10\ln 2 \approx 46.93$⁩.