Distribuzione campionaria

Una statistica è un numero calcolato da un campione, come la sua media o mediana. Estrai ripetutamente campioni indipendenti della stessa dimensione $n$ da una popolazione e calcola la statistica ogni volta: questi valori formano la sua distribuzione campionaria. Il valore atteso meno il valore vero è la distorsione; la deviazione standard è l’errore standard. I tre strati separano tre distribuzioni: la popolazione, i $n$ valori di un campione e la distribuzione campionaria, con un punto per campione.

Perché un campione resta largo mentre le medie si concentrano? Un campione è una copia approssimativa della popolazione: crescendo $n$, la sua deviazione standard $s$ si stabilizza vicino a quella della popolazione, $\sigma$, invece di ridursi. La media di $n$ valori indipendenti si comporta diversamente: i valori sopra e sotto il centro si compensano in parte. Per ogni popolazione con varianza finita vale $\operatorname{Var}(\bar x) = \sigma^2/n$, quindi l’errore standard della media è $\sigma/\sqrt{n}$. Quadruplicare la dimensione del campione lo dimezza. L’errore standard non è dunque la dispersione di un campione: indica quanto la media varierebbe da un campione all’altro. Il teorema del limite centrale spiega perché le medie assumono anche una forma a campana.

Perché la varianza campionaria si divide per $n - 1$? Ogni campione soddisfa $\sum (x - \mu)^2 = \sum (x - \bar x)^2 + n(\bar x - \mu)^2$. La somma degli scarti al quadrato è minima quando si misurano dalla media del campione; è inferiore alla somma misurata dalla media vera di $n(\bar x - \mu)^2$. In media, questa differenza è $n$ volte la varianza di $\bar x$, cioè esattamente $\sigma^2$. Quindi $\sum (x - \bar x)^2$ vale in media $(n - 1)\sigma^2$; dividere per $n - 1$ rende $s^2$ non distorto, mentre dividere per $n$ dà un difetto medio di $\sigma^2/n$. La correzione vale solo per la varianza: poiché la radice quadrata è concava, $s$ continua a sottostimare $\sigma$ in media (di circa il 6% con dati normali e $n = 5$). Per il massimo la ragione è più semplice: nella popolazione uniforme ogni valore è inferiore a 100, quindi anche il massimo campionario è in media inferiore a 100.

La media stima sempre meglio il centro? Dipende dalla popolazione. In una popolazione simmetrica, media e mediana sono entrambe centrate sul centro vero, quindi è migliore quella con errore standard minore. Con dati normali, quello della mediana è maggiore: per $n$ grande è circa $\sqrt{\pi/2} \approx 1.25$ volte quello della media. Con dati di Laplace, dalle code più pesanti, è minore: nello stesso limite di grandi campioni, circa $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ volte. Un valore estremo sposta la media ma quasi non muove la mediana, e le code pesanti producono spesso valori estremi. In una popolazione asimmetrica possono stimare numeri diversi: la popolazione esponenziale qui ha media 50 e mediana $40 + 10\ln 2 \approx 46.93$.