Distribución muestral

Un estadístico es un número calculado a partir de una muestra, como su media o mediana. Extrae una y otra vez muestras independientes del mismo tamaño $n$ de una población y calcula el estadístico cada vez: esos valores forman su distribución muestral. Su valor esperado menos el valor verdadero es el sesgo; su desviación estándar es el error estándar. Las tres capas separan tres distribuciones: la población, los $n$ valores de una muestra y la distribución muestral, con un punto por muestra.

¿Por qué una muestra sigue siendo ancha mientras las medias se concentran? Una muestra es una copia aproximada de la población, así que al crecer $n$ su desviación estándar $s$ se estabiliza cerca de la de la población, $\sigma$, en vez de reducirse. La media de $n$ valores independientes se comporta de otra manera: los valores por encima y por debajo del centro se compensan en parte. Para cualquier población con varianza finita, $\operatorname{Var}(\bar x) = \sigma^2/n$, de modo que el error estándar de la media es $\sigma/\sqrt{n}$. Cuadruplicar el tamaño de muestra lo reduce a la mitad. El error estándar no es, por tanto, la dispersión de una muestra: indica cuánto cambiaría la media de una muestra a otra. El teorema central del límite explica por qué las medias también adoptan forma de campana.

¿Por qué la varianza muestral se divide entre $n - 1$? Toda muestra cumple $\sum (x - \mu)^2 = \sum (x - \bar x)^2 + n(\bar x - \mu)^2$. La suma de desviaciones al cuadrado es mínima cuando se miden desde la propia media muestral; es menor que la suma medida desde la media verdadera en $n(\bar x - \mu)^2$. En promedio, esa diferencia es $n$ veces la varianza de $\bar x$: exactamente $\sigma^2$. Así, $\sum (x - \bar x)^2$ tiene promedio $(n - 1)\sigma^2$; dividir entre $n - 1$ hace que $s^2$ sea insesgado, mientras que dividir entre $n$ da un déficit promedio de $\sigma^2/n$. La corrección solo sirve para la varianza: como la raíz cuadrada es cóncava, $s$ sigue subestimando $\sigma$ en promedio (en torno al 6% con datos normales y $n = 5$). El máximo se queda corto por una razón más sencilla: en la población uniforme todos los valores son menores que 100, de modo que el máximo muestral también queda por debajo de 100 en promedio.

¿La media siempre estima mejor el centro? Depende de la población. En una población simétrica, tanto la media como la mediana están centradas en el centro verdadero, así que es mejor la de menor error estándar. Con datos normales, el de la mediana es mayor: para $n$ grande, es aproximadamente $\sqrt{\pi/2} \approx 1.25$ veces el de la media. Con datos de Laplace, cuyas colas son más pesadas, es menor: en ese mismo régimen de muestras grandes, unas $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ veces. Un valor extremo desplaza la media pero apenas mueve la mediana, y las colas pesadas producen valores extremos con frecuencia. En una población asimétrica pueden estimar números distintos: la población exponencial de aquí tiene media 50 y mediana $40 + 10\ln 2 \approx 46.93$.