Media y mediana

Cada valor es un punto negro en una recta numérica; los valores iguales se apilan. El triángulo amarillo bajo la recta es la media $\bar{x}$ y la línea discontinua es la mediana $M$. Al mover un valor, unas marcas tenues guardan las posiciones anteriores. Cuando aparece una flecha, muestra cuánto se ha desplazado la media.

¿Qué equilibra la media? Distancias. La suma de las distancias a los valores de su izquierda es exactamente igual a la de su derecha; por eso, el triángulo funciona como el apoyo de un balancín. Mueve un valor $\Delta$ y la suma cambiará $\Delta$, así que la media se moverá $\Delta/n$. Entre nueve valores, arrastrar 7 hasta 50 desplaza la media $43/9 \approx 4.78$. Por lejos que llegue un valor, la media lo sigue.

¿Qué equilibra la mediana? Cantidades. Tras ordenar los valores, es el central, o el punto medio de los dos centrales si $n$ es par. Como máximo la mitad de los valores son menores, y como máximo la mitad son mayores. Mientras el valor central, o los dos centrales, no cambien, la mediana no se mueve por lejos que se arrastre un valor exterior. Si un valor atraviesa el centro, la mediana sí puede acompañarlo. Para situarla por encima de todos los valores originales, el valor central —el mayor de los dos centrales si $n$ es par— y todos los superiores deben ser valores modificados que superen el máximo anterior. Con $n$ fijo, hacen falta al menos $\lceil n/2 \rceil$ cambios; con nueve valores, cinco.

¿Por qué ambos se llaman centros? Activa Probar un centro y elige un punto $c$. El gráfico inferior muestra dos distancias medias desde $c$ hasta los valores. La curva continua, la distancia cuadrática media, es decir, la raíz cuadrada de la media de las distancias al cuadrado, cumple $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$: alcanza el mínimo en la media, donde vale la desviación típica $\sigma$, calculando la varianza con denominador $n$. La curva discontinua, la distancia absoluta media, está formada por segmentos rectos. Entre dos valores su pendiente es $(L - R)/n$: hay $L$ valores a la izquierda de $c$ y $R$ a la derecha. Un paso a la derecha te aleja de los $L$ valores de la izquierda y te acerca a los $R$ de la derecha. Es mínima donde ningún lado contiene más de la mitad de los valores; la mediana siempre es uno de esos puntos. Si $n$ es par y los dos valores centrales son distintos, el mínimo ocupa el tramo plano entre ellos, cuyo punto medio es la mediana.