Mittelwert und Median

Jeder Wert ist ein dunkler Punkt auf einer Zahlengeraden; gleiche Werte stapeln sich. Das gelbe Dreieck darunter ist der Mittelwert $\bar{x}$, die gestrichelte Linie der Median $M$. Beim Verschieben eines Werts halten blasse Marken frühere Positionen fest. Ein eingeblendeter Pfeil zeigt, wie weit der Mittelwert gewandert ist.

Was bringt der Mittelwert ins Gleichgewicht? Abstände. Die Werte links von ihm sind zusammen genau so weit entfernt wie die Werte rechts von ihm. Deshalb wirkt das Dreieck wie der Drehpunkt einer Wippe. Verschiebe einen Wert um $\Delta$, dann ändert sich die Summe um $\Delta$ und der Mittelwert um $\Delta/n$. Verschiebst du bei neun Werten die 7 auf 50, wandert der Mittelwert um $43/9 \approx 4.78$. Wie weit ein Wert auch geht, der Mittelwert folgt.

Was bringt der Median ins Gleichgewicht? Anzahlen. In der sortierten Liste ist er der mittlere Wert, bei geradem $n$ die Mitte der beiden mittleren. Daher liegt höchstens die Hälfte der Werte darunter und höchstens die Hälfte darüber. Solange die mittleren Werte unverändert bleiben, bewegt sich der Median nicht, egal wie weit ein äußerer Wert verschoben wird. Ziehst du einen Wert durch die Mitte, kann der Median jedoch mitwandern. Soll er über allen ursprünglichen Werten liegen, müssen der mittlere Wert – bei geradem $n$ der obere der beiden mittleren – und alle darüberliegenden Werte veränderte Werte über dem alten Maximum sein. Bei festem $n$ sind dafür mindestens $\lceil n/2 \rceil$ Änderungen nötig, bei neun Werten also fünf.

Warum heißen beide ein Zentrum? Aktiviere „Zentrum ausprobieren“ und wähle einen Punkt $c$. Das untere Diagramm zeigt zwei mittlere Abstände von $c$ zu den Werten. Die durchgezogene Kurve ist der quadratische Mittelabstand, also die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Abstände, und erfüllt $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$. Sie ist am Mittelwert am niedrigsten und entspricht dort der Standardabweichung $\sigma$, wobei die Varianz den Nenner $n$ verwendet. Die gestrichelte Kurve, der mittlere absolute Abstand, besteht aus Geradenstücken. Zwischen zwei Werten hat sie die Steigung $(L - R)/n$: Links von $c$ liegen $L$ Werte, rechts $R$. Ein Schritt nach rechts vergrößert die Abstände zu den $L$ linken Werten und verkleinert sie zu den $R$ rechten. Die Kurve ist überall dort am niedrigsten, wo auf keiner Seite mehr als die Hälfte der Werte liegt; der Median gehört immer dazu. Ist $n$ gerade und sind die beiden mittleren Werte verschieden, ist der Boden zwischen ihnen flach. Der Median liegt in seiner Mitte.