Rata-rata dan median

Setiap nilai adalah titik gelap pada garis bilangan; nilai yang sama ditumpuk. Segitiga kuning di bawah garis adalah rata-rata $\bar{x}$, sedangkan garis putus-putus adalah median $M$. Saat Anda memindahkan nilai, tanda samar merekam posisi sebelumnya. Jika sebuah panah muncul, panah itu menunjukkan seberapa jauh rata-rata berpindah.

Apa yang diseimbangkan rata-rata? Jarak. Jumlah jarak dari rata-rata ke nilai-nilai di kirinya tepat sama dengan jumlah jarak ke nilai-nilai di kanannya. Karena itu, segitiga bekerja seperti titik tumpu jungkat-jungkit. Pindahkan satu nilai sejauh $\Delta$ dan jumlahnya berubah sebesar $\Delta$, sehingga rata-rata berpindah sejauh $\Delta/n$: seret 7 ke 50 di antara sembilan nilai, dan rata-rata bergeser sebesar $43/9 \approx 4.78$. Sejauh apa pun suatu nilai pergi, rata-rata mengikutinya.

Apa yang diseimbangkan median? Cacah. Setelah data diurutkan, median adalah nilai tengah, atau titik tengah antara dua nilai tengah jika $n$ genap. Jadi, paling banyak separuh nilai lebih kecil daripada median dan paling banyak separuh lebih besar. Selama nilai tengah, atau dua nilai tengah, tidak berubah, median tidak bergeser, seberapa jauh pun nilai di ujung diseret. Namun, jika sebuah nilai diseret melintasi bagian tengah, median dapat ikut bergeser. Agar median lebih besar daripada semua nilai awal, nilai tengah (untuk $n$ genap, yang lebih besar dari dua nilai tengah) dan semua nilai di atasnya harus merupakan nilai yang telah diubah hingga melampaui maksimum lama. Dengan $n$ tetap, diperlukan setidaknya $\lceil n/2 \rceil$ perubahan; untuk sembilan nilai, lima perubahan.

Mengapa keduanya disebut pusat? Aktifkan Coba pusat dan pilih titik $c$. Grafik bawah menampilkan dua jenis jarak rata-rata dari $c$ ke nilai-nilai. Garis utuh adalah akar rata-rata kuadrat jarak dan memenuhi $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$. Nilainya paling kecil di rata-rata, yaitu sama dengan simpangan baku $\sigma$ (varians dihitung dengan penyebut $n$). Garis putus-putus adalah rata-rata jarak mutlak dan tersusun atas ruas garis lurus. Di antara dua nilai, kemiringannya adalah $(L - R)/n$, dengan $L$ nilai di kiri $c$ dan $R$ nilai di kanan: melangkah ke kanan menjauhkan Anda dari $L$ nilai dan mendekatkan Anda ke $R$ nilai. Jarak rata-rata ini paling kecil di setiap tempat yang tidak memiliki lebih dari separuh nilai pada salah satu sisinya, dan median selalu merupakan salah satu tempat itu. Jika $n$ genap dan dua nilai tengah berbeda, terbentuk ruas datar di antara keduanya, dengan median sebagai titik tengahnya.