Ortalama ve medyan

Her değer sayı doğrusu üzerinde koyu bir noktadır; eşit değerler üst üste dizilir. Doğrunun altındaki sarı üçgen ortalamayı $\bar{x}$, kesikli çizgi medyanı $M$ gösterir. Bir değeri taşıdığınızda soluk işaretler önceki konumları kaydeder. Bir ok belirdiğinde ortalamanın ne kadar hareket ettiğini gösterir.

Ortalama neyi dengeler? Uzaklıkları. Solundaki değerlerin ona uzaklıkları toplamı, sağındakilerin uzaklıkları toplamına tam olarak eşittir. Üçgenin bir tahterevallinin destek noktası gibi davranmasının nedeni budur. Bir değeri $\Delta$ kadar taşıyın: toplam $\Delta$ kadar değişir, dolayısıyla ortalama $\Delta/n$ kadar hareket eder. Dokuz değer arasındaki 7'yi 50'ye sürüklerseniz ortalama $43/9 \approx 4.78$ kadar kayar. Bir değer ne kadar uzağa giderse gitsin ortalama onu izler.

Medyan neyi dengeler? Sayıları. Sıralamadaki ortanca değerdir; $n$ çiftse ortadaki iki değerin orta noktasıdır. Bu yüzden değerlerin en fazla yarısı medyandan küçük, en fazla yarısı büyüktür. Ortadaki değer veya ortadaki iki değer değişmediği sürece, uçtaki bir değeri ne kadar uzağa sürüklerseniz sürükleyin medyan hareket etmez. Ancak bir değeri ortadan geçirirseniz medyan da onunla hareket edebilir. Medyanı başlangıçtaki bütün değerlerin üzerine çıkarmak için ortadaki değerin ($n$ çiftse ortadaki ikilinin büyüğünün) ve onun üzerindeki bütün değerlerin, eski en büyük değeri aşacak biçimde değiştirilmiş değerler olması gerekir. $n$ sabitken bu, en az $\lceil n/2 \rceil$ değişiklik gerektirir; dokuz değer için beş değişiklik.

Neden ikisine de merkez denir? Bir merkez dene seçeneğini açıp bir $c$ noktası seçin. Alt grafik, $c$ noktasından değerlere iki ortalama uzaklığı gösterir. Sürekli çizgi, uzaklıkların karelerinin ortalamasının kareköküdür ve $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$ bağıntısını sağlar. Ortalamada en küçüktür ve burada standart sapmaya $\sigma$ eşittir (varyansın paydası $n$ alınır). Kesikli çizgi ortalama mutlak uzaklıktır ve doğru parçalarından oluşur. İki değer arasındaki eğimi $(L - R)/n$ olur; burada $c$ noktasının solunda $L$, sağında $R$ değer vardır. Sağa adım atmak soldaki $L$ değerden uzaklaştırır, sağdaki $R$ değere yaklaştırır. Her iki taraftaki değer sayısının da toplamın yarısını aşmadığı yerlerde en küçüktür ve medyan her zaman bu yerlerden biridir. $n$ çift ve ortadaki iki değer farklı olduğunda aralarında düz bir bölüm oluşur; medyan bu bölümün orta noktasıdır.