平均値と中央値

各値は数直線上の黒い点です。同じ値は縦に積み重なります。数直線の下の黄色い三角形が平均値$\bar{x}$、破線が中央値$M$です。値を動かすと、移動前の位置に薄い印が残ります。矢印が現れた場合は、平均値がどれだけ動いたかを示しています。

平均値は何をつり合わせるのでしょうか。距離です。平均値より左にある値までの距離の合計は、右にある値までの距離の合計とぴったり一致します。そのため、三角形はシーソーの支点のように働きます。1個の値を$\Delta$だけ動かすと、合計が$\Delta$だけ変わるので、平均値は$\Delta/n$だけ動きます。9個の値のうち7を50へドラッグすると、平均値の変化は$43/9 \approx 4.78$です。値がどこまで遠くへ行っても、平均値はそれを追いかけます。

中央値は何をつり合わせるのでしょうか。個数です。順に並べた中央の値、または$n$が偶数なら中央の2つの値の中点なので、中央値未満の値も、中央値を超える値も、それぞれ全体の半数以下です。中央の値、または中央の2つの値が変わらない限り、外側の値をどれほど遠くへドラッグしても中央値は動きません。ただし、値を中央をまたいで動かすと、中央値も動くことがあります。中央値を元のすべての値より大きくするには、中央の値（$n$が偶数なら中央の2つのうち大きい方）とそれより上のすべての値が、元の最大値を超えるよう変更された値でなければなりません。$n$を固定すると、少なくとも$\lceil n/2 \rceil$個の変更が必要です。9個の値なら5個です。

なぜどちらも「中心」と呼べるのでしょうか。「中心を試す」をオンにして点$c$を選んでください。下のグラフは$c$から各値への2種類の平均距離を示します。実線は二乗平均平方根距離で、$\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$を満たします。平均値の位置で最小になり、その値は標準偏差$\sigma$と一致します（分散の分母は$n$）。破線は平均絶対距離で、直線をつないだ形です。2つの値の間では傾きが$(L - R)/n$になります。ここで$c$の左にある値の個数が$L$、右の個数が$R$です。右に進むと、左側の$L$個からは遠ざかり、右側の$R$個には近づくからです。どちら側の個数も全体の半数を超えない位置で最小になり、中央値は必ずそのような位置の1つです。$n$が偶数で中央の2つの値が異なる場合、その2点の間が平らな区間になり、中央値はその中点です。