平均數與中位數

每筆資料是數線上的一個墨點，相同的值向上堆疊。數線下的黃色三角形是平均數$\bar{x}$，虛線是中位數$M$。移動資料時，淡色記號會留下先前的位置；出現箭頭時，它表示平均數移動的距離。

平均數平衡什麼？距離。左側各值到它的距離總和，恰好等於右側各值到它的距離總和，因此三角形就像翹翹板的支點。一筆資料移動$\Delta$，總和就改變$\Delta$，所以平均數移動$\Delta/n$：9筆資料中將7拖到50，平均數就移動$43/9 \approx 4.78$。不論一筆資料移到多遠，平均數都會跟著變。

中位數平衡什麼？筆數。排序後，它是中間的值；$n$為偶數時，則是中間兩個值的中點。因此小於它的資料不超過一半，大於它的也不超過一半。只要中間的值或中間兩個值不變，外側資料拖得再遠，中位數都不動。但若將一筆資料拖過中間，中位數就可能跟著移動。要讓它高於所有原始值，排序後中間的值（$n$為偶數時，是中間兩個中較大的值）及其上方的所有值，都必須是改動後超過原最大值的資料。$n$固定時，至少需要改動$\lceil n/2 \rceil$筆；9筆資料時就是5筆。

為什麼兩者都稱為中心？啟用「試選中心」，選一點$c$。下方圖形顯示從$c$到各資料值的兩種平均距離。實線是均方根距離，滿足$\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$：它在平均數處最低，此時等於標準差$\sigma$（變異數的分母取$n$）。虛線是平均絕對距離，由直線段組成。在兩筆資料值之間，斜率為$(L - R)/n$，其中$c$左側有$L$筆，右側有$R$筆：往右移會離左側$L$筆更遠，離右側$R$筆更近。只要任一側都不超過半數資料，平均絕對距離便達到最低，中位數一定是其中一個位置。$n$為偶數、且中間兩個值不同時，兩者之間是一段平底，中位數就是它的中點。