常態分布

服從常態分布$N(\mu, \sigma^2)$的隨機變數$X$具有鐘形密度：平均數$\mu$位於峰頂，標準差$\sigma$決定寬窄。$X$落在兩個值之間的機率，就是這兩個值之間曲線下的面積。本頁曲線下有兩把尺：$x$尺量數值，$z$尺量標準單位。你可以移動$\mu$與$\sigma$，在$a$與$b$處切開數線，並選擇哪把尺固定在畫面上。

為什麼每條常態曲線都是同一條？固定$z$尺，再改變$\mu$或$\sigma$：畫面上的曲線維持不動。動的是下方的$x$尺，它會滑動、伸縮，密度刻度上的數字也跟著改變。切點是$x$的值，所以隨這把尺移動；只有切點在$z$尺上的位置改變時，塗色面積才會改變。每個常態分布都是以另一把尺讀取標準常態$N(0, 1)$，因此$P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$，其中$\Phi(z)$是標準曲線下$z$左側的面積。

曲線的哪裡看得出$\sigma$？反曲點。在一般縱軸上，曲線於$\mu - \sigma$與$\mu + \sigma$之間向下彎，外側向上彎。切線在這兩個反曲點穿過曲線。由於形狀不變，距平均數$k$個標準差以內的面積與$\mu$、$\sigma$無關：一個以內約68.27%，兩個以內約95.45%，三個以內約99.73%。

為什麼曲線越窄越高？因為總面積始終是1。「分解步驟」顯示從標準曲線出發的兩步：先平移到$\mu$，再橫向伸縮為$\sigma$倍，曲線下面積變成$\sigma$；將高度除以$\sigma$後，面積又回到1。因此峰高為$1/(\sigma\sqrt{2\pi})$，$\sigma$減半，峰高便加倍。高度是密度，也就是每單位$x$的機率；只有面積才是機率。

尾端有多薄？在一般縱軸上，曲線到了約$3\sigma$處，看起來像貼住了橫軸，其實永遠不會變成0。在對數縱軸上，$\log f$是$x$的二次函數，因此曲線變成開口向下的拋物線，尾端下降得越來越快：左右兩端超過$3\sigma$的機率合計約0.270%，超過$4\sigma$約為15,800分之1，超過$6\sigma$約為5.07億分之1。對數縱軸下，曲線下面積不再等於機率，因此只在$x$尺上標出所選區域。