標準差

標準差描述一組資料的值，通常距離平均值$\bar{x}$有多遠。把每個值的偏差$x_i - \bar{x}$平方，將這些平方取平均，再開平方，就得到$\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$。這裡將每個偏差的平方畫成懸在數線下方的正方形；上方空心正方形的面積是它們的平均，邊長就是σ，單位與資料相同。你可以移動單一值，也可以平移、伸縮整組資料，看看哪些正方形會改變。

偏差本身加起來永遠是0，因為平均值就是它們平衡的位置；直接取平均無法描述分散程度。平方讓兩側的偏差都能算進來，也讓遠處的值產生更大的影響：離平均值兩倍遠的值，會加上四倍的面積。因此一個遠值就可能大幅拉高標準差。這也說明σ為什麼不會小於平均距離，也就是$|x_i - \bar{x}|$的平均；只有全部值與平均值的距離相同時，兩者才會相等。

最後開平方，是把平均面積變回長度。平均正方形的面積σ²稱為變異數，單位是原單位的平方。

每個值加上同一個數，平均值就移動這個數，各個偏差、正方形和σ都不變。把每個值距離平均值的距離乘以$k$，各正方形面積就乘以$k^2$，σ則乘以$|k|$。一般而言，$a + bx_i$這組值的標準差是$|b|\,\sigma$。將平均值移到0、把σ調成1，就能把每個值改寫成標準單位：$z = (x - \bar{x})/\sigma$。

除以$n$得到這組值本身的標準差；若它們就是整個母體，便記作σ。很多時候，這些值只是隨機樣本，我們想知道的是原母體的分散程度。樣本自身的平均值比母體平均值更貼近這組樣本，因此從它測量的偏差平方，平均而言會偏小。除以$n - 1$能消除變異數的這項偏差：$s^2$是母體變異數的不偏估計量，其平方根$s$就是樣本標準差。這時空心正方形的面積，是平方和除以$n - 1$，比平方的平均稍大一些。只有小樣本的差別才很大：兩個值時，$s$是σ的$\sqrt{2}$倍。