Simpangan baku

Simpangan baku menyatakan seberapa jauh nilai-nilai dalam kumpulan data biasanya terletak dari rata-ratanya $\bar{x}$. Simpangan setiap nilai, $x_i - \bar{x}$, dikuadratkan; kuadrat-kuadrat itu dirata-ratakan, dan akar kuadrat dari rata-rata tersebut adalah $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Di sini, setiap kuadrat simpangan berupa persegi yang menggantung di bawah garis bilangan. Rata-rata luasnya adalah persegi kosong di atasnya: panjang sisinya σ, suatu panjang dalam satuan yang sama dengan data. Anda dapat menggeser nilai satu per satu, atau menggeser dan meregangkan seluruh kumpulan data sambil mengamati persegi mana yang berubah.

Jumlah simpangan selalu nol karena rata-rata adalah titik keseimbangannya, sehingga rata-rata simpangan biasa tidak menjelaskan penyebaran. Menguadratkan membuat setiap simpangan di kedua sisi ikut dihitung dan memberi bobot jauh lebih besar pada nilai yang jauh: nilai yang berjarak dua kali lebih jauh dari rata-rata menyumbang empat kali luas. Karena itu, satu nilai jauh dapat sangat meningkatkan simpangan baku. Ini juga menjelaskan mengapa σ tidak pernah lebih kecil daripada jarak rata-rata, yaitu rata-rata $|x_i - \bar{x}|$. Keduanya sama hanya jika semua nilai berjarak sama dari rata-rata.

Akar kuadrat terakhir mengubah luas rata-rata kembali menjadi panjang. Luas persegi rata-rata itu sendiri, σ², adalah varians, yang diukur dalam satuan kuadrat.

Menambahkan bilangan yang sama ke setiap nilai menggeser rata-rata sebesar bilangan itu, tanpa mengubah simpangan, persegi, maupun σ. Mengalikan setiap jarak dari rata-rata dengan $k$ mengalikan setiap luas persegi dengan $k^2$ dan σ dengan $|k|$. Secara umum, nilai-nilai $a + bx_i$ memiliki simpangan baku $|b|\,\sigma$. Menggeser rata-rata ke 0 dan menskalakan σ ke 1 menuliskan kembali setiap nilai dalam satuan standar: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Membagi dengan $n$ memberikan simpangan baku dari nilai-nilai itu sendiri, ditulis σ jika nilai-nilai tersebut merupakan seluruh populasi. Sering kali nilai-nilai itu adalah sampel acak, dan yang ingin diketahui adalah penyebaran populasi asalnya. Jika diukur dari rata-rata sampel sendiri, yang lebih dekat ke nilai-nilai sampel daripada rata-rata populasi, kuadrat simpangannya rata-rata terlalu kecil. Membagi dengan $n - 1$ menghilangkan bias pada varians itu: $s^2$ merupakan penduga tak bias bagi varians populasi, dan akar kuadratnya $s$ adalah simpangan baku sampel. Luas persegi kosong kemudian menjadi jumlah kuadrat dibagi $n - 1$, sedikit lebih besar daripada rata-ratanya. Perbedaannya besar hanya untuk sampel kecil: dengan dua nilai, $s$ adalah $\sqrt{2}$ kali σ.