Стандартное отклонение

Стандартное отклонение показывает, насколько далеко значения набора данных обычно находятся от их среднего $\bar{x}$. Отклонение каждого значения $x_i - \bar{x}$ возводится в квадрат, квадраты усредняются, и квадратный корень из этого среднего равен $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Здесь каждое отклонение в квадрате изображено квадратом под числовой прямой. Средняя площадь — это пустой квадрат над ней: его сторона равна σ, длине в тех же единицах, что и данные. Можно перемещать отдельные значения либо сдвигать и растягивать весь набор, наблюдая, какие квадраты меняются.

Сумма самих отклонений всегда равна нулю, потому что среднее — точка их равновесия. Поэтому обычное среднее отклонений ничего не говорит о разбросе. Возведение в квадрат учитывает отклонения по обе стороны и придаёт гораздо больший вес далёким значениям: значение вдвое дальше от среднего добавляет вчетверо большую площадь. Поэтому одно далёкое значение может сильно увеличить стандартное отклонение. По той же причине σ никогда не меньше среднего расстояния — среднего значения $|x_i - \bar{x}|$. Они равны только тогда, когда все значения находятся на одинаковом расстоянии от среднего.

Заключительное извлечение квадратного корня превращает среднюю площадь обратно в длину. Сама средняя площадь, σ², — это дисперсия, измеряемая в квадратных единицах.

Прибавление одного и того же числа ко всем значениям сдвигает среднее на это число и оставляет неизменными все отклонения, квадраты и σ. Умножение каждого расстояния от среднего на $k$ умножает площадь каждого квадрата на $k^2$, а σ — на $|k|$. В общем случае значения $a + bx_i$ имеют стандартное отклонение $|b|\,\sigma$. Сдвиг среднего к 0 и масштабирование σ до 1 переводят каждое значение в стандартные единицы: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Деление на $n$ даёт стандартное отклонение самих значений, обозначаемое σ, когда они составляют всю генеральную совокупность. Часто значения — случайная выборка, а нужен разброс исходной совокупности. При измерении от среднего самой выборки, более близкого к выборке в целом, чем среднее совокупности, квадраты отклонений в среднем оказываются слишком малы. Деление на $n - 1$ устраняет это смещение дисперсии: $s^2$ — несмещённая оценка дисперсии совокупности, а её квадратный корень $s$ — выборочное стандартное отклонение. Площадь пустого квадрата тогда равна сумме квадратов, делённой на $n - 1$, немного больше их среднего. Разница велика лишь для малых выборок: для двух значений $s$ в $\sqrt{2}$ раза больше σ.