Standardabweichung

Die Standardabweichung beschreibt, wie weit die Werte eines Datensatzes typischerweise von ihrem Mittelwert $\bar{x}$ entfernt sind. Jede Abweichung $x_i - \bar{x}$ wird quadriert, die Quadrate werden gemittelt, und die Quadratwurzel dieses Mittels ist $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Hier wird jede quadrierte Abweichung als Quadrat unter der Zahlengeraden dargestellt. Der Mittelwert ihrer Flächen ist das leere Quadrat darüber: Seine Seitenlänge ist σ, eine Länge in derselben Einheit wie die Daten. Du kannst einzelne Werte verschieben oder den ganzen Datensatz verschieben und strecken und beobachten, welche Quadrate sich ändern.

Die Abweichungen selbst ergeben zusammen immer null, denn der Mittelwert ist ihr Gleichgewichtspunkt. Ihr einfaches Mittel sagt daher nichts über die Streuung aus. Das Quadrieren lässt jede Abweichung auf beiden Seiten zählen und gewichtet weit entfernte Werte viel stärker: Ein Wert im doppelten Abstand vom Mittelwert trägt die vierfache Fläche bei. Ein einzelner ferner Wert kann die Standardabweichung deshalb stark erhöhen. Darum ist σ auch nie kleiner als der mittlere Abstand, der Mittelwert von $|x_i - \bar{x}|$. Beide sind nur dann gleich, wenn alle Werte denselben Abstand vom Mittelwert haben.

Die abschließende Quadratwurzel macht aus einer mittleren Fläche wieder eine Länge. Das mittlere Quadrat selbst, σ², ist die Varianz, gemessen in quadrierten Einheiten.

Addiert man zu jedem Wert dieselbe Zahl, verschiebt sich der Mittelwert um diese Zahl. Alle Abweichungen, Quadrate und σ bleiben unverändert. Multipliziert man jeden Abstand vom Mittelwert mit $k$, wird jede Quadratfläche mit $k^2$ und σ mit $|k|$ multipliziert. Allgemein haben die Werte $a + bx_i$ die Standardabweichung $|b|\,\sigma$. Verschiebt man den Mittelwert auf 0 und skaliert σ auf 1, erhält man jeden Wert in Standardeinheiten: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Die Division durch $n$ liefert die Standardabweichung der Werte selbst, geschrieben σ, wenn sie die gesamte Grundgesamtheit bilden. Häufig sind die Werte eine Zufallsstichprobe, und gesucht ist die Streuung der Grundgesamtheit, aus der sie stammt. Gemessen am eigenen Stichprobenmittelwert, der näher an den Stichprobenwerten liegt als der Mittelwert der Grundgesamtheit, fallen die quadrierten Abweichungen im Mittel zu klein aus. Die Division durch $n - 1$ beseitigt diese Verzerrung der Varianz: $s^2$ schätzt die Varianz der Grundgesamtheit erwartungstreu, und ihre Quadratwurzel $s$ ist die Stichprobenstandardabweichung. Die Fläche des leeren Quadrats ist dann die Summe der Quadrate geteilt durch $n - 1$, etwas mehr als ihr Mittelwert. Der Unterschied ist nur bei kleinen Stichproben groß: Bei zwei Werten ist $s$ das $\sqrt{2}$-Fache von σ.