Korrelation

Der Korrelationskoeffizient $r$ gepaarter Daten, auch Pearson-Korrelationskoeffizient genannt, misst, wie eng die Punkte einer Geraden folgen. Er reicht von −1 bis 1 und ist positiv, wenn $x$ und $y$ tendenziell gemeinsam steigen. Hier begrenzen jeder Punkt und das Datenzentrum ein Rechteck mit Seiten in Standardabweichungen. $r$ ist die Summe ihrer vorzeichenbehafteten Flächen, geteilt durch $n-1$. Du kannst Punkte ziehen, hinzufügen und löschen, Anscombes vier Datensätze oder eine Punktwolke mit gewähltem $r$ laden und die Quadrate sehen, die $r$ zwischen −1 und 1 halten.

Was misst $r$? In Standardeinheiten gibt $z_x$ an, wie viele Standardabweichungen ein Punkt rechts vom Mittelwert von $x$ liegt; $z_y$ gibt an, wie viele er über dem Mittelwert von $y$ liegt. Das Rechteck zwischen Punkt und Zentrum hat die Fläche $|z_x z_y|$. Oben rechts und unten links zählt sie positiv, weil beide Koordinaten auf derselben Seite ihrer jeweiligen Mittelwerte liegen; in den anderen beiden Ecken zählt sie negativ. Da die Seiten in Standardabweichungen gemessen werden, bleibt $r$ unverändert, wenn man Einheiten wechselt oder $x$ und $y$ vertauscht. Auch das Diagramm ist so gezeichnet: Eine Standardabweichung ist auf beiden Achsen gleich lang. Der gestrichelte Rahmen ist daher ein Quadrat, dessen oberes rechtes Viertel eine Flächeneinheit groß ist.

Warum kann $r$ nie über ±1 hinausgehen? Zeichne die Gerade $z_y = z_x$ durch das Zentrum. Der quadrierte Abstand eines Punkts von ihr ist $(z_y - z_x)^2/2$. Die Summe dieser Quadrate, geteilt durch $n-1$, ergibt genau $1 - r$, denn die $z_x^2$ und die $z_y^2$ summieren sich jeweils zu $n-1$. Für die andere Diagonale $z_y = -z_x$ ergibt dieselbe Rechnung $1 + r$. Quadrate sind nie negativ, also gilt $-1 \le r \le 1$. Und $r = 1$ gilt nur, wenn jedes Abstandsquadrat zur Geraden $z_y = z_x$ verschwindet: Alle Punkte liegen auf einer steigenden Geraden.

Warum können sehr verschiedene Bilder dasselbe $r$ haben? $r$ summiert Rechtecke, ohne die Form zu betrachten. Der Statistiker Francis Anscombe konstruierte 1973 vier Datensätze mit fast gleichem $r$, fast gleichen Mittelwerten und fast gleicher Ausgleichsgeraden: ein gerades Band, eine glatte Kurve, eine fast gerade Linie mit einem Ausreißer und eine Gruppe, bei der ein einziger Punkt den Großteil der vorzeichenbehafteten Summe trägt. Ein Rechteck wächst mit dem Produkt der beiden Abstände des Punkts vom Zentrum. Ein weit entfernter Punkt kann deshalb den Großteil der Gesamtfläche liefern. Selbst Punkte genau auf einer Parabel können bei symmetrischer Anordnung $r = 0$ ergeben: Jedes Rechteck auf einer Seite wird durch sein Spiegelbild auf der anderen aufgehoben. $r$ misst nur den linearen Zusammenhang.

Warum Standardeinheiten verwenden? Das Auge schätzt Korrelation danach ein, wie schmal die Punktwolke aussieht, und das hängt von den Achsen ab: Streckt man eine Achse, wirken dieselben Punkte schmaler oder runder. In Experimenten von Cleveland, Diaconis und McGill (1982) schätzten Menschen dieselben Streudiagramme als stärker korreliert ein, wenn die Achsenbereiche um sie herum erweitert wurden. Standardeinheiten machen die Achsen vergleichbar: Eine Standardabweichung ist auf beiden gleich lang. In diesem Bild misst $r$ genau die Streuung der Punktwolke quer zu den beiden Diagonalen. Das macht das Auge aber nicht zuverlässig: Herausgezoomt wirkt dieselbe Wolke weiterhin kompakter.