相关系数

成对数据的相关系数$r$（又称皮尔逊相关系数）衡量各点贴近同一条直线的程度：它在−1到1之间，$x$和$y$倾向于一起变大时为正。本页让每个点和数据的中心围成一个矩形，边长以标准差为单位，$r$就是这些矩形的有符号面积之和除以$n-1$。你可以拖动、添加、删除点，载入安斯库姆的四组数据或按指定$r$生成的点云，还能看到把$r$限制在−1和1之间的那些方块。

$r$量的是什么？换成标准单位后，$z_x$说的是一个点在$x$的均值右边几个标准差，$z_y$是在$y$的均值上方几个标准差。点和中心之间的矩形面积是$|z_x z_y|$。矩形在中心的右上或左下时，两个坐标在各自均值的同一侧，算正；在另外两个角算负。边长按标准差计，所以换单位、交换$x$和$y$都不改变$r$。画面也是这样画的：两个方向上一个标准差一样长，虚线框是正方形，它右上角的四分之一就是一个单位面积。

为什么$r$超不过±1？过中心画直线$z_y = z_x$。一个点到它的距离平方是$(z_y - z_x)^2/2$，这些平方加起来除以$n-1$，正好是$1 - r$，因为$z_x^2$和$z_y^2$各自加起来都是$n-1$。换成另一条对角线$z_y = -z_x$，同样算出来是$1 + r$。平方不会是负数，所以$-1 \le r \le 1$；$r = 1$只在到$z_y = z_x$的方块全部消失时成立，也就是所有点都在一条上升的直线上。

为什么同一个$r$可以是完全不同的图？$r$只是把矩形加起来，不看形状。统计学家安斯库姆在1973年造了四组数据，$r$、均值和拟合直线几乎相同：一组是一条直的点带，一组是光滑的曲线，一组除一个离群点外几乎共线，最后一组的大部分有符号面积来自一个点。矩形随点到中心两个方向距离的乘积长大，所以一个远点就能占掉大部分面积。点正好落在抛物线上时，只要左右对称摆放，$r$也可以是0：一边的每个矩形都被另一边的镜像抵消。$r$只衡量直线式的关联。

为什么要在标准单位下看？眼睛按点云看起来有多细来判断相关的强弱，而这取决于坐标轴：拉长一个轴，同样的点就显得更细或更圆。Cleveland、Diaconis和McGill在1982年的实验里发现，坐标范围放大、点云显得更小时，人们会把同样的散点图判断得更相关。标准单位让两个坐标轴可以比较：两个方向的一个标准差一样长，在这种画法里，点云横穿两条对角线的分散程度，正是$r$量的东西。但它并不让眼睛变得可靠：画面缩小后，同一团点仍然显得更紧。