均值与中位数

每个数是数轴上的一个墨点，相同的数往上叠。线下的黄色三角是均值$\bar{x}$，虚线是中位数$M$。移动一个数时，淡色的记号留下先前的位置。出现箭头时，它标出均值移动了多远。

均值平衡的是什么？是距离。它左边各数到它的距离加起来，正好等于右边各数到它的距离之和，所以三角就像跷跷板的支点。把一个数移动$\Delta$，总和就变$\Delta$，均值跟着移动$\Delta/n$：九个数里把7拖到50，均值移动$43/9 \approx 4.78$。无论那个数移到多远，均值都会跟着动。

中位数平衡的是什么？是个数。排好序后它是中间的那个数，$n$为偶数时取中间两个数的平均，所以小于它的数不超过一半，大于它的也不超过一半。只要中间那个数（或中间两个数）不变，外围的数拖到多远，中位数都不动。把一个数拖过中间，中位数就可能跟着走。要把它推到原来所有的数之上，排序后中间那个数（$n$为偶数时是中间两个里较大的那个）和它上面的数，都必须是改动后落到原最大值上方的数。$n$不变时，至少要改$\lceil n/2 \rceil$个；九个数时是五个。

为什么两者都叫“中心”？打开“试一个中心”，选一个点$c$，下面的图画出从$c$到各数的两种平均距离。实线是均方根距离，满足$\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$：它在均值处最低，最低值是标准差$\sigma$（方差的分母取$n$）。虚线是平均绝对距离，由一段段直线组成。在两个数之间，它的斜率是$(L - R)/n$，其中$L$、$R$是$c$左边、右边的个数：$c$往右挪，离左边那$L$个数更远，离右边那$R$个数更近。只要两边的个数都不超过一半，它就最低，中位数总在其中。$n$为偶数且中间两个数不同时，最低处是它们之间的一段平底，中位数是这一段的中点。