Moyenne et médiane

Chaque valeur est un point noir sur une droite graduée ; les valeurs égales s’empilent. Le triangle jaune sous la droite est la moyenne $\bar{x}$, la ligne en pointillés la médiane $M$. Quand vous déplacez une valeur, des marques pâles gardent les positions précédentes. Lorsqu’une flèche apparaît, elle indique le déplacement de la moyenne.

Qu’équilibre la moyenne ? Les distances. Les valeurs à sa gauche sont, au total, exactement aussi éloignées d’elle que celles à sa droite : le triangle joue donc le rôle du pivot d’une balançoire. Déplacer une valeur de $\Delta$ modifie la somme de $\Delta$, donc la moyenne de $\Delta/n$. Parmi neuf valeurs, passer de 7 à 50 déplace la moyenne de $43/9 \approx 4.78$. Aussi loin qu’une valeur parte, la moyenne la suit.

Qu’équilibre la médiane ? Les effectifs. Une fois les valeurs triées, c’est celle du milieu, ou le milieu des deux valeurs centrales si $n$ est pair. Au plus la moitié des valeurs sont donc en dessous, et au plus la moitié au-dessus. Tant que la ou les deux valeurs centrales restent en place, la médiane ne bouge pas, quelle que soit la distance parcourue par une valeur extérieure. Si une valeur traverse le milieu, la médiane peut toutefois l’accompagner. Pour la placer au-dessus de toutes les valeurs initiales, la valeur centrale — la plus grande des deux centrales si $n$ est pair — et toutes celles au-dessus doivent être des valeurs modifiées dépassant l’ancien maximum. À $n$ fixé, cela demande au moins $\lceil n/2 \rceil$ modifications : cinq pour neuf valeurs.

Pourquoi parle-t-on de centre dans les deux cas ? Activez Essayer un centre et choisissez un point $c$. Le graphique inférieur montre deux distances moyennes entre $c$ et les valeurs. La courbe pleine, la distance quadratique moyenne, c’est-à-dire la racine carrée de la moyenne des carrés des distances, vérifie $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$ : elle est minimale à la moyenne, où elle vaut l’écart-type $\sigma$, avec une variance calculée au dénominateur $n$. La courbe en pointillés, la distance absolue moyenne, est faite de segments. Entre deux valeurs, sa pente est $(L - R)/n$ : il y a $L$ valeurs à gauche de $c$ et $R$ à droite. Un pas à droite éloigne des $L$ valeurs de gauche et rapproche des $R$ valeurs de droite. Elle est minimale partout où aucun côté ne compte plus de la moitié des valeurs, et la médiane fait toujours partie de ces positions. Si $n$ est pair et que les deux valeurs centrales diffèrent, le fond est plat entre elles ; la médiane en est le milieu.