Média e mediana

Cada valor é um ponto preto numa reta numérica; os valores iguais empilham-se. O triângulo amarelo sob a reta é a média $\bar{x}$, e a linha tracejada é a mediana $M$. Ao mover um valor, marcas esbatidas guardam as posições anteriores. Quando surge uma seta, indica quanto a média se deslocou.

O que equilibra a média? Distâncias. A soma das distâncias aos valores da esquerda é exatamente igual à dos valores da direita; por isso, o triângulo funciona como o apoio de um balancé. Mover um valor por $\Delta$ altera a soma por $\Delta$ e a média por $\Delta/n$. Entre nove valores, arrastar 7 para 50 desloca a média por $43/9 \approx 4.78$. Por mais longe que um valor vá, a média acompanha-o.

O que equilibra a mediana? Contagens. Depois de ordenar os valores, é o central, ou o ponto médio dos dois centrais se $n$ for par. No máximo metade dos valores fica abaixo, e no máximo metade acima. Enquanto o valor central, ou os dois centrais, não mudar, a mediana não se move, por mais longe que se arraste um valor exterior. Mas, se um valor atravessar o centro, a mediana pode acompanhá-lo. Para a colocar acima de todos os valores originais, o valor central — o maior dos dois centrais se $n$ for par — e todos os superiores têm de ser valores alterados acima do antigo máximo. Com $n$ fixo, são precisas pelo menos $\lceil n/2 \rceil$ alterações; com nove valores, cinco.

Porque se chamam centros a ambos? Ative Experimentar um centro e escolha um ponto $c$. O gráfico inferior mostra duas distâncias médias de $c$ aos valores. A curva contínua, a distância quadrática média, ou seja, a raiz quadrada da média dos quadrados das distâncias, satisfaz $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$: é mínima na média, onde vale o desvio-padrão $\sigma$, com a variância calculada usando o denominador $n$. A curva tracejada, a distância absoluta média, é feita de segmentos de reta. Entre dois valores, o declive é $(L - R)/n$: há $L$ valores à esquerda de $c$ e $R$ à direita. Um passo para a direita afasta-o dos $L$ valores da esquerda e aproxima-o dos $R$ da direita. O mínimo ocorre onde nenhum lado tem mais de metade dos valores, e a mediana é sempre uma dessas posições. Se $n$ for par e os dois valores centrais diferirem, o fundo entre eles é plano; a mediana é o seu ponto médio.