평균과 중앙값

각 값은 수직선 위의 검은 점이며, 같은 값은 위로 쌓입니다. 수직선 아래 노란 삼각형은 평균 $\bar{x}$, 파선은 중앙값 $M$입니다. 값을 옮기면 이전 위치에 옅은 표시가 남습니다. 화살표가 나타나면 평균이 이동한 거리를 보여 줍니다.

평균은 무엇의 균형을 맞출까요? 거리입니다. 평균의 왼쪽에 있는 값까지의 거리 합은 오른쪽 값까지의 거리 합과 정확히 같습니다. 그래서 삼각형이 시소의 받침점처럼 작용합니다. 값 하나를 $\Delta$만큼 옮기면 합이 $\Delta$만큼 바뀌므로 평균은 $\Delta/n$만큼 이동합니다. 값 9개 중 7을 50으로 드래그하면 평균의 이동량은 $43/9 \approx 4.78$입니다. 값이 아무리 멀리 가도 평균은 그 뒤를 따릅니다.

중앙값은 무엇의 균형을 맞출까요? 개수입니다. 순서대로 정렬한 가운데 값이거나, $n$이 짝수라면 가운데 두 값의 중간값이므로, 중앙값보다 작은 값도 큰 값도 각각 전체의 절반 이하입니다. 가운데 값 또는 가운데 두 값이 그대로인 한 바깥쪽 값을 아무리 멀리 드래그해도 중앙값은 움직이지 않습니다. 하지만 가운데를 가로질러 값을 옮기면 중앙값도 움직일 수 있습니다. 중앙값을 원래의 모든 값보다 크게 만들려면 가운데 값($n$이 짝수이면 가운데 두 값 중 큰 값)과 그 위의 모든 값이 원래 최댓값보다 크게 바뀐 값이어야 합니다. $n$이 고정되어 있다면 최소 $\lceil n/2 \rceil$개의 변경이 필요합니다. 값이 9개라면 5개입니다.

왜 둘 다 중심이라고 할까요? ‘중심 정하기’를 켜고 점 $c$를 골라 보세요. 아래 그래프는 $c$에서 각 값까지의 두 가지 평균 거리를 보여 줍니다. 실선은 제곱평균제곱근 거리로, 관계식 $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$이 성립합니다. 평균에서 가장 작으며, 이때 표준편차 $\sigma$와 같습니다(분산의 분모는 $n$). 파선은 평균 절대 거리로, 직선 조각들이 이어진 모양입니다. 두 값 사이에서 기울기는 $(L - R)/n$입니다. 여기서 $c$의 왼쪽에 값이 $L$개, 오른쪽에 $R$개 있습니다. 오른쪽으로 움직이면 왼쪽의 $L$개 값에서는 멀어지고 오른쪽의 $R$개 값에는 가까워지기 때문입니다. 어느 쪽에도 전체의 절반을 넘는 값이 없는 곳에서 가장 작으며, 중앙값은 항상 그런 곳 중 하나입니다. $n$이 짝수이고 가운데 두 값이 다르면 그 사이가 평평한 구간이 되며, 중앙값은 그 구간의 중점입니다.