المتوسط والوسيط

تظهر كل قيمة كنقطة داكنة على خط الأعداد، وتتراص القيم المتساوية فوق بعضها. المثلث الأصفر تحت الخط هو المتوسط ⁦$\bar{x}$⁩، والخط المتقطع هو الوسيط ⁦$M$⁩. عندما تحرّك قيمة، تسجّل علامات باهتة المواضع السابقة. وإذا ظهر سهم، فهو يبيّن مقدار انتقال المتوسط.

ماذا يوازن المتوسط؟ المسافات. مجموع مسافات القيم الواقعة يساره عنه يساوي تمامًا مجموع مسافات القيم الواقعة يمينه عنه؛ ولهذا يعمل المثلث كنقطة ارتكاز أرجوحة التوازن. حرّك قيمة واحدة بمقدار ⁦$\Delta$⁩ فيتغير المجموع بمقدار ⁦$\Delta$⁩، وينتقل المتوسط بمقدار ⁦$\Delta/n$⁩. اسحب 7 إلى 50 بين تسع قيم، فينتقل المتوسط بمقدار ⁦$43/9 \approx 4.78$⁩. ومهما ابتعدت قيمة، يتبعها المتوسط.

ماذا يوازن الوسيط؟ الأعداد. بعد الترتيب، هو القيمة الوسطى، أو منتصف القيمتين الوسطيتين عندما يكون ⁦$n$⁩ زوجيًا. لذلك لا يزيد عدد القيم الأصغر منه على النصف، ولا عدد القيم الأكبر منه على النصف. طالما لم تتغير القيمة الوسطى أو القيمتان الوسطيتان، لا يتحرك الوسيط مهما سُحبت قيمة طرفية بعيدًا. لكن إذا سحبت قيمة عبر الوسط، فقد يتحرك الوسيط معها. لجعله أكبر من كل القيم الأصلية، يجب أن تكون القيمة الوسطى (أو الكبرى من القيمتين الوسطيتين إذا كان ⁦$n$⁩ زوجيًا) وكل القيم التي فوقها قيمًا عُدّلت لتتجاوز أكبر قيمة قديمة. مع ثبات ⁦$n$⁩، يتطلب ذلك عددًا من التغييرات لا يقل عن ⁦$\lceil n/2 \rceil$⁩؛ أي خمسة تغييرات عند وجود تسع قيم.

لماذا يُعدّ كلاهما مركزًا؟ فعّل «جرّب مركزًا» واختر نقطة ⁦$c$⁩. يعرض الرسم السفلي متوسطين للمسافة من ⁦$c$⁩ إلى القيم. الخط المتصل يمثّل الجذر التربيعي لمتوسط مربعات المسافات، ويحقق ⁦$\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$⁩. يبلغ أدنى قيمة عند المتوسط، حيث يساوي الانحراف المعياري ⁦$\sigma$⁩ (مع حساب التباين بالمقام ⁦$n$⁩). أما الخط المتقطع فيمثّل متوسط المسافة المطلقة، ويتألف من قطع مستقيمة. بين قيمتين يكون ميله ⁦$(L - R)/n$⁩، حيث عدد القيم يسار ⁦$c$⁩ هو ⁦$L$⁩، وعددها يمينه هو ⁦$R$⁩: فالتحرك يمينًا يبعدك عن القيم التي عددها ⁦$L$⁩ ويقرّبك من القيم التي عددها ⁦$R$⁩. يبلغ هذا المتوسط أدنى قيمة حيث لا يوجد على أي جانب أكثر من نصف القيم، والوسيط دائمًا أحد هذه المواضع. عندما يكون ⁦$n$⁩ زوجيًا وتختلف القيمتان الوسطيتان، يكون المقطع بينهما مسطّحًا، والوسيط منتصفه.