التوزيع الطبيعي

للمتغير العشوائي ⁦$X$⁩ ذي التوزيع الطبيعي ⁦$N(\mu, \sigma^2)$⁩ كثافة جرسية الشكل: يقع المتوسط ⁦$\mu$⁩ عند القمة، ويحدد الانحراف المعياري ⁦$\sigma$⁩ العرض. احتمال وقوع ⁦$X$⁩ بين قيمتين هو المساحة تحت المنحنى بينهما. هنا يقف المنحنى فوق مسطرتين: ⁦$x$⁩ للقيم، و⁦$z$⁩ للوحدات المعيارية. يمكنك تحريك ⁦$\mu$⁩ و⁦$\sigma$⁩، ووضع الحدين عند ⁦$a$⁩ و⁦$b$⁩، واختيار المسطرة التي تبقى ثابتة على الشاشة.

لماذا كل المنحنيات الطبيعية هي المنحنى نفسه؟ ثبّت مسطرة ⁦$z$⁩ وغيّر ⁦$\mu$⁩ أو ⁦$\sigma$⁩: يبقى المنحنى على الشاشة ساكنًا. بدلًا منه، تنزلق مسطرة ⁦$x$⁩ وتتمدد تحته، وتتغير الأعداد على مقياس الكثافة. الحدّان قيمتان من ⁦$x$⁩، لذا يتحركان مع تلك المسطرة، ولا تتغير المساحة المظللة إلا عندما يتغير موضعاهما على مسطرة ⁦$z$⁩. كل توزيع طبيعي هو التوزيع الطبيعي المعياري ⁦$N(0, 1)$⁩ مقروءًا بمسطرة أخرى، ولذلك ⁦$P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$⁩، حيث ⁦$\Phi(z)$⁩ هي المساحة يسار ⁦$z$⁩ تحت المنحنى المعياري.

أين يظهر ⁦$\sigma$⁩ على المنحنى؟ عند نقطتي الانعطاف. على المقياس العادي، يكون المنحنى مقعّرًا إلى الأسفل بين ⁦$\mu - \sigma$⁩ و⁦$\mu + \sigma$⁩، وإلى الأعلى خارجهما. عند نقطتي الانعطاف هاتين، يعبر المماس المنحنى. ولأن الشكل لا يتغير، فإن المساحة ضمن عدد ⁦$k$⁩ من الانحرافات المعيارية عن المتوسط لا تعتمد على ⁦$\mu$⁩ أو ⁦$\sigma$⁩: نحو 68.27% ضمن انحراف واحد، و95.45% ضمن اثنين، و99.73% ضمن ثلاثة.

لماذا يكون المنحنى الأضيق أعلى؟ المساحة الكلية دائمًا 1. تعرض «خطوات البناء» خطوتين انطلاقًا من المنحنى المعياري: بعد إزاحته إلى ⁦$\mu$⁩ وتمديده أفقيًا بعامل ⁦$\sigma$⁩، تصبح المساحة تحته ⁦$\sigma$⁩؛ وبقسمة ارتفاعه على ⁦$\sigma$⁩، تعود المساحة إلى 1. لذا يبلغ ارتفاع القمة ⁦$1/(\sigma\sqrt{2\pi})$⁩، وتنصيف ⁦$\sigma$⁩ يضاعف هذا الارتفاع. الارتفاع كثافة، أي احتمال لكل وحدة من ⁦$x$⁩؛ والمساحات وحدها هي الاحتمالات.

ما مدى رقة الذيلين؟ على المقياس العادي، يبدو أن المنحنى يلامس المحور عند نحو ⁦$3\sigma$⁩، لكنه لا يبلغ الصفر أبدًا. على المقياس اللوغاريتمي، تكون ⁦$\log f$⁩ دالة تربيعية في ⁦$x$⁩، فيصبح المنحنى قطعًا مكافئًا مفتوحًا إلى الأسفل ويهبط الذيلان بوتيرة متزايدة. مجموع احتمال الذيلين بعد ⁦$3\sigma$⁩ نحو 0.270%، وبعد ⁦$4\sigma$⁩ نحو 1 من كل 15 800، وبعد ⁦$6\sigma$⁩ نحو 1 من كل 507 ملايين. على المقياس اللوغاريتمي، لا تعود المساحة تحت المنحنى مساوية للاحتمال، ولذلك لا تُعلَّم المنطقة إلا على مسطرة ⁦$x$⁩.