Distribuzione normale

Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione normale $N(\mu, \sigma^2)$ ha una densità a campana: la media $\mu$ è al picco e la deviazione standard $\sigma$ ne determina la larghezza. La probabilità che $X$ cada tra due valori è l’area sotto la curva fra quei valori. Qui la curva si trova sopra due righelli: $x$ per i valori e $z$ per le unità standard. Puoi spostare $\mu$ e $\sigma$, collocare i tagli in $a$ e $b$ e scegliere quale righello resta fisso sullo schermo.

Perché ogni curva normale è la stessa curva? Fissa il righello $z$ e cambia $\mu$ o $\sigma$: la curva sullo schermo resta ferma. È il righello $x$ a scorrere e dilatarsi sotto di essa, mentre cambiano i numeri sulla scala della densità. I tagli sono valori di $x$, quindi seguono quel righello; l’area colorata cambia solo quando cambiano le loro posizioni sul righello $z$. Ogni distribuzione normale è la normale standard $N(0, 1)$ letta con un altro righello, perciò $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, dove $\Phi(z)$ è l’area a sinistra di $z$ sotto la curva standard.

Dove si vede $\sigma$ sulla curva? Nei punti di flesso. Sulla scala ordinaria, la curva è concava verso il basso tra $\mu - \sigma$ e $\mu + \sigma$ e verso l’alto all’esterno. In questi due punti di flesso, la tangente attraversa la curva. Poiché la forma non cambia mai, l’area entro $k$ deviazioni standard dalla media non dipende da $\mu$ né da $\sigma$: circa il 68.27% entro una, il 95.45% entro due e il 99.73% entro tre.

Perché una curva più stretta è più alta? L’area totale è sempre 1. Costruzione mostra i due passaggi a partire dalla curva standard: spostata in $\mu$ e dilatata orizzontalmente di un fattore $\sigma$, la curva racchiude un’area di $\sigma$; dividendo l’altezza per $\sigma$, l’area torna a 1. Il picco è quindi $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, e dimezzare $\sigma$ ne raddoppia l’altezza. L’altezza è una densità, ossia probabilità per unità di $x$; solo le aree sono probabilità.

Quanto sono sottili le code? Sulla scala ordinaria, la curva sembra toccare l’asse intorno a $3\sigma$, ma non raggiunge mai zero. Sulla scala logaritmica, $\log f$ è una funzione quadratica di $x$: la curva diventa una parabola rivolta verso il basso e le code scendono sempre più rapidamente. Le due code insieme contengono circa lo 0.270% della probabilità oltre $3\sigma$, circa 1 su 15 800 oltre $4\sigma$ e circa 1 su 507 milioni oltre $6\sigma$. Su una scala logaritmica, l’area sotto la curva non è più la probabilità, quindi la regione viene indicata soltanto sul righello $x$.