Normal dağılım

Normal dağılımı $N(\mu, \sigma^2)$ olan bir $X$ rassal değişkeninin yoğunluğu çan biçimindedir: ortalama $\mu$ tepededir, standart sapma $\sigma$ genişliği belirler. $X$ değişkeninin iki değer arasında kalma olasılığı, bu değerler arasında eğrinin altında kalan alandır. Burada eğrinin altında iki cetvel vardır: değerler için $x$, standart birimler için $z$. $\mu$ ve $\sigma$ değerlerini değiştirebilir, sınırları $a$ ve $b$ konumlarına koyabilir ve hangi cetvelin ekranda sabit kalacağını seçebilirsiniz.

Neden bütün normal eğriler aynı eğridir? $z$ cetvelini sabitleyip $\mu$ veya $\sigma$ değerini değiştirin: ekrandaki eğri hareketsiz kalır. Onun yerine alttaki $x$ cetveli kayar ve uzar; yoğunluk ölçeğindeki sayılar da değişir. Sınırlar $x$ değerleri olduğundan o cetvelle birlikte hareket eder. Boyalı alan ancak sınırların $z$ cetvelindeki konumları değiştiğinde değişir. Her normal dağılım, standart normal $N(0, 1)$ dağılımının başka bir cetvelle okunmasıdır; dolayısıyla $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$ olur. Burada $\Phi(z)$, standart eğrinin altında $z$ konumunun solundaki alandır.

Eğride $\sigma$ nerede görünür? Büküm noktalarında. Olağan ölçekte eğri $\mu - \sigma$ ile $\mu + \sigma$ arasında aşağıya, dışarıda yukarıya doğru bükülür. Bu iki büküm noktasında teğet eğriyi keser. Şekil hiç değişmediği için ortalamanın $k$ standart sapma çevresindeki alan $\mu$ veya $\sigma$ değerine bağlı değildir: bir standart sapma içinde yaklaşık %68.27, iki içinde %95.45, üç içinde %99.73.

Neden daha dar bir eğri daha yüksektir? Toplam alan daima 1'dir. Oluşumu göster seçeneği, standart eğriden başlayan iki adımı gösterir: $\mu$ konumuna kaydırılıp yatayda $\sigma$ kat uzatılınca eğrinin altındaki alan $\sigma$ olur; yükseklik $\sigma$ değerine bölününce alan yeniden 1 olur. Dolayısıyla tepe $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ yüksekliğindedir; $\sigma$ değerini yarıya indirmek tepeyi iki katına çıkarır. Yükseklik bir yoğunluktur, yani $x$ birimi başına olasılık. Olasılık olan yalnızca alandır.

Kuyruklar ne kadar incedir? Olağan ölçekte eğri yaklaşık $3\sigma$ uzaklıkta eksene değiyormuş gibi görünür, ama asla sıfıra ulaşmaz. Logaritmik ölçekte $\log f$, $x$ değişkeninin ikinci dereceden bir fonksiyonudur. Bu yüzden eğri aşağıya açılan bir parabole dönüşür ve kuyruklar gittikçe daha hızlı düşer. İki kuyruğun toplam olasılığı $3\sigma$ ötesinde yaklaşık %0.270, $4\sigma$ ötesinde yaklaşık 15 800'de bir, $6\sigma$ ötesinde yaklaşık 507 milyonda birdir. Logaritmik ölçekte eğrinin altındaki alan artık olasılık değildir; bu yüzden bölge yalnızca $x$ cetvelinde işaretlenir.