Standart sapma

Standart sapma, bir veri kümesindeki değerlerin ortalamaları $\bar{x}$ değerinden tipik olarak ne kadar uzakta olduğunu söyler. Her değerin sapmasının $x_i - \bar{x}$ karesi alınır, karelerin ortalaması bulunur ve bu ortalamanın karekökü $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$ olur. Burada her sapmanın karesi, sayı doğrusunun altında asılı bir karedir. Alanların ortalaması ise üstteki içi boş karedir: kenarı σ, verilerle aynı birimde bir uzunluktur. Tek tek değerleri taşıyabilir veya bütün veri kümesini kaydırıp esneterek hangi karelerin değiştiğini görebilirsiniz.

Ortalama denge noktası olduğundan sapmaların toplamı daima sıfırdır; bu yüzden sapmaların basit ortalaması yayılım hakkında bilgi vermez. Kare almak iki taraftaki her sapmayı hesaba katar ve uzak değerlere çok daha fazla ağırlık verir: ortalamadan iki kat uzaktaki bir değer dört kat alan ekler. Bu nedenle tek bir uzak değer standart sapmayı büyük ölçüde artırabilir. σ’nın ortalama uzaklıktan, yani $|x_i - \bar{x}|$ ortalamasından hiçbir zaman küçük olmamasının nedeni de budur. İkisi yalnızca tüm değerler ortalamadan aynı uzaklıkta olduğunda eşittir.

Son karekök işlemi, ortalama alanı yeniden bir uzunluğa dönüştürür. Ortalama karenin kendisi, σ², kare birimlerle ölçülen varyanstır.

Her değere aynı sayıyı eklemek ortalamayı o sayı kadar kaydırır; bütün sapmalar, kareler ve σ aynı kalır. Ortalamaya olan her uzaklığı $k$ ile çarpmak her karenin alanını $k^2$, σ’yı ise $|k|$ ile çarpar. Genel olarak $a + bx_i$ değerlerinin standart sapması $|b|\,\sigma$ olur. Ortalamayı 0’a taşıyıp σ’yı 1’e ölçeklemek her değeri standart birimlerde yeniden yazar: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

$n$ ile bölmek değerlerin kendi standart sapmasını verir; değerler anakütlenin tamamını oluşturuyorsa bu σ ile gösterilir. Çoğu zaman değerler rastgele bir örneklemdir ve aranan, geldikleri anakütlenin yayılımıdır. Örneklem değerlerine anakütle ortalamasından daha yakın olan örneklem ortalamasına göre ölçüldüğünde, sapmaların kareleri ortalama olarak küçük kalır. $n - 1$ ile bölmek varyanstaki bu yanlılığı giderir: $s^2$, anakütle varyansının yansız bir tahmin edicisidir; karekökü $s$ ise örneklem standart sapmasıdır. Bu durumda içi boş karenin alanı, kareler toplamının $n - 1$ ile bölümüdür; karelerin ortalamasından biraz büyüktür. Fark yalnızca küçük örneklemlerde büyüktür: iki değer için $s$, σ’nın $\sqrt{2}$ katıdır.