الانحراف المعياري

يصف الانحراف المعياري المسافة النموذجية بين قيم مجموعة بيانات ومتوسطها $\bar{x}$. نربّع انحراف كل قيمة $x_i - \bar{x}$، ثم نحسب متوسط المربعات، والجذر التربيعي لهذا المتوسط هو $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. هنا يُمثَّل كل انحراف مربع بمربع يتدلى أسفل خط الأعداد، ويُمثَّل متوسط مساحاتها بالمربع المفرغ فوقه: طول ضلعه σ، وهو طول بوحدات البيانات نفسها. يمكنك تحريك قيم منفردة، أو إزاحة مجموعة البيانات كلها وتمديدها، وملاحظة المربعات التي تتغير.

مجموع الانحرافات نفسها يساوي صفرًا دائمًا، لأن المتوسط هو نقطة اتزانها؛ لذلك لا يصف متوسطها العادي التشتت. يجعل التربيع كل انحراف مؤثرًا على أي من الجانبين، ويزيد أثر القيم البعيدة كثيرًا: فالقيمة التي تبعد عن المتوسط ضعف المسافة تضيف أربعة أمثال المساحة. لذلك قد ترفع قيمة بعيدة واحدة الانحراف المعياري كثيرًا. وهذا أيضًا سبب عدم كون σ أصغر من متوسط المسافة، أي متوسط $|x_i - \bar{x}|$؛ ولا يتساويان إلا حين تكون جميع القيم على المسافة نفسها من المتوسط.

يعيد الجذر التربيعي في النهاية تحويل متوسط المساحة إلى طول. متوسط مساحات المربعات نفسه، ⁦σ²⁩، هو التباين، ويُقاس بوحدات مربعة.

إضافة العدد نفسه إلى كل قيمة تزيح المتوسط بذلك العدد، وتُبقي كل انحراف وكل مربع وσ كما كانت. وضرب كل مسافة عن المتوسط في $k$ يضرب مساحة كل مربع في $k^2$ وσ في $|k|$. وبوجه عام، الانحراف المعياري للقيم $a + bx_i$ هو $|b|\,\sigma$. إزاحة المتوسط إلى 0 وتمديد σ إلى 1 يعيدان كتابة كل قيمة بوحدات معيارية، $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

تعطي القسمة على $n$ الانحراف المعياري للقيم نفسها، ويُرمز إليه بـσ عندما تكون القيم مجتمعًا كاملًا. كثيرًا ما تكون القيم عينة عشوائية، ونريد تقدير تشتت المجتمع الذي أُخذت منه. عندما نقيس الانحرافات عن متوسط العينة نفسها، وهو أقرب إلى العينة من متوسط المجتمع، تكون مربعاتها أصغر مما ينبغي في المتوسط. تزيل القسمة على $n - 1$ هذا التحيز من التباين: $s^2$ مقدّر غير متحيز لتباين المجتمع، وجذره التربيعي $s$ هو الانحراف المعياري للعينة. عندئذ تكون مساحة المربع المفرغ مجموع مساحات المربعات مقسومًا على $n - 1$، أي أكبر قليلًا من متوسطها. لا يكون الفرق كبيرًا إلا في العينات الصغيرة: مع قيمتين، تساوي $s$ مقدار $\sqrt{2}$ مضروبًا في σ.