Deviazione standard

La deviazione standard indica quanto distano tipicamente i valori di un insieme di dati dalla loro media $\bar{x}$. Si eleva al quadrato lo scarto di ogni valore, $x_i - \bar{x}$, si calcola la media dei quadrati e se ne prende la radice quadrata: $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Qui ogni scarto al quadrato è un quadrato sospeso sotto la retta numerica. La media delle aree è il quadrato vuoto sopra: il suo lato è σ, una lunghezza nelle stesse unità dei dati. Puoi spostare singoli valori o traslare e dilatare l’intero insieme, osservando quali quadrati cambiano.

Gli scarti sommano sempre a zero, perché la media è il loro punto di equilibrio: la loro semplice media non dice quindi nulla sulla dispersione. Il quadrato fa contare ogni scarto, da entrambi i lati, e dà molto più peso ai valori lontani: un valore al doppio della distanza dalla media aggiunge un’area quadrupla. Un solo valore lontano può quindi aumentare molto la deviazione standard. È anche il motivo per cui σ non è mai minore della distanza media, la media di $|x_i - \bar{x}|$; sono uguali solo quando tutti i valori hanno la stessa distanza dalla media.

La radice quadrata finale riconverte un’area media in una lunghezza. Il quadrato medio stesso, σ², è la varianza, misurata in unità al quadrato.

Aggiungere lo stesso numero a tutti i valori sposta la media di quel numero e lascia invariati gli scarti, i quadrati e σ. Moltiplicare ogni distanza dalla media per $k$ moltiplica ogni area per $k^2$ e σ per $|k|$. In generale, i valori $a + bx_i$ hanno deviazione standard $|b|\,\sigma$. Portare la media a 0 e σ a 1 riscrive ogni valore in unità standard: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Dividere per $n$ dà la deviazione standard dei valori stessi, indicata con σ quando costituiscono l’intera popolazione. Spesso i valori sono un campione casuale e interessa la dispersione della popolazione da cui provengono. Misurati rispetto alla media del campione, più vicina ai suoi valori di quanto lo sia la media della popolazione, gli scarti al quadrato sono in media troppo piccoli. Dividere per $n - 1$ elimina questa distorsione dalla varianza: $s^2$ è uno stimatore non distorto della varianza della popolazione e la sua radice quadrata $s$ è la deviazione standard campionaria. L’area del quadrato vuoto è allora la somma dei quadrati divisa per $n - 1$, un po’ più della loro media. La differenza è grande solo per piccoli campioni: con due valori, $s$ è $\sqrt{2}$ volte σ.