标准差

标准差说的是一组值通常离它们的均值$\bar{x}$有多远。把每个值的偏差$x_i - \bar{x}$平方，求这些平方的平均数，再开平方，就是$\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$。画面上每个偏差的平方是挂在数轴下面的一个正方形，它们面积的平均数是数轴上方那个空心正方形：它的边长就是σ，是和数据同单位的一段长度。可以移动单个值，也可以把整组数据平移、拉开，看哪些正方形跟着变。

偏差本身加起来总是0，因为均值正是它们左右平衡的位置，所以直接求偏差的平均数说明不了分散程度。平方以后，两边的偏差都算正数，而且远的值算得重得多：离均值远一倍，面积就是4倍。所以一个远值就能让标准差大很多。也正因为这样，σ不会比平均距离（$|x_i - \bar{x}|$的平均数）小；只有每个值离均值都一样远时，两者才相等。

最后开平方，把平均的面积变回长度。平均正方形的面积σ²本身叫方差，单位是数据单位的平方。

每个值都加上同一个数，均值跟着移动这么多，每个偏差、每个正方形和σ都不变。每个值离均值的距离都乘$k$，每个正方形变成$k^2$倍，σ变成$|k|$倍。一般地，$a + bx_i$这组值的标准差是$|b|\,\sigma$。把均值移到0、把σ拉成1，每个值就换成了标准单位$z = (x - \bar{x})/\sigma$。

除以$n$得到的是这组值本身的标准差，当它们就是整个总体时记作σ。很多时候这组值是一个随机样本，想知道的是它所来自的总体有多分散。从样本自己的均值量起，样本均值比总体均值更靠近这些值，所以偏差的平方平均起来会偏小。改为除以$n - 1$，方差的这个偏差就消除了：$s^2$是总体方差的无偏估计，它的平方根$s$叫样本标准差。这时空心正方形是平方和除以$n - 1$，比平均面积略大。两者只在样本很小时差得多：只有两个值时，$s$是σ的$\sqrt{2}$倍。