正态分布

服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的随机变量$X$，密度是一条钟形曲线：均值$\mu$在峰顶，标准差$\sigma$决定宽窄。$X$落在两个值之间的概率，就是这两个值之间曲线下的面积。本页的曲线下面挂着两把尺：$x$尺量取值，$z$尺量标准单位。你可以移动$\mu$和$\sigma$，在$a$、$b$处切开数轴，还可以选择哪把尺钉在屏幕上不动。

为什么说所有正态曲线都是同一条？让$z$尺不动，再改$\mu$或$\sigma$：屏幕上的曲线一动不动，动的是下面的$x$尺，它在平移、伸缩，纵轴的密度刻度也跟着换数。切点是$x$的值，所以跟着$x$尺走；涂色面积只在切点落到$z$尺上的位置变了时才变。每个正态分布都是标准正态$N(0, 1)$换了一把尺子，所以$P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$，其中$\Phi(z)$是标准曲线下$z$左边的面积。

$\sigma$在曲线的哪里？在拐点。在普通纵轴上，曲线在$\mu - \sigma$与$\mu + \sigma$之间向下弯，之外向上弯。切线在这两个拐点处穿过曲线。曲线的形状从不改变，所以离均值$k$个标准差以内的面积和$\mu$、$\sigma$无关：一个以内约68.27%，两个以内约95.45%，三个以内约99.73%。

为什么越窄越高？总面积永远是1。“分解”画出从标准曲线出发的两步：平移到$\mu$、横向拉长$\sigma$倍，曲线下的面积变成$\sigma$；再把高度除以$\sigma$，面积回到1。所以峰高是$1/(\sigma\sqrt{2\pi})$，$\sigma$减半，峰高加倍。高度是密度，即每单位$x$的概率；只有面积才是概率。

尾巴有多薄？在普通纵轴上，曲线到$3\sigma$左右就像贴住了横轴，其实永远不到0。在对数纵轴上，$\log f$是$x$的二次函数，曲线变成开口向下的抛物线，尾巴下降得越来越快：两边$3\sigma$以外的概率约0.270%，$4\sigma$以外约1.58万分之一，$6\sigma$以外约5.07亿分之一。对数纵轴下曲线下的面积不再是概率，所以只在$x$尺上标出所选的区域。