Нормальное распределение

Случайная величина $X$ с нормальным распределением $N(\mu, \sigma^2)$ имеет колоколообразную плотность: среднее $\mu$ находится под вершиной, а стандартное отклонение $\sigma$ задаёт ширину. Вероятность того, что $X$ попадёт между двумя значениями, равна площади под кривой между ними. Здесь под кривой две шкалы: $x$ для значений и $z$ для стандартных единиц. Можно менять $\mu$ и $\sigma$, ставить границы в $a$ и $b$ и выбирать, какая шкала остаётся неподвижной на экране.

Почему все нормальные кривые — одна и та же кривая? Закрепите шкалу $z$ и измените $\mu$ или $\sigma$: кривая на экране не сдвинется. Вместо неё будет сдвигаться и растягиваться шкала $x$ внизу, а числа на шкале плотности будут меняться. Границы — это значения $x$, поэтому они движутся вместе с этой шкалой. Закрашенная площадь меняется только тогда, когда меняются их положения на шкале $z$. Любое нормальное распределение — это стандартное нормальное $N(0, 1)$, прочитанное по другой шкале, поэтому $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, где $\Phi(z)$ — площадь слева от $z$ под стандартной кривой.

Где на кривой видно $\sigma$? В точках перегиба. На обычной шкале кривая выгнута вверх между $\mu - \sigma$ и $\mu + \sigma$, а снаружи — вниз. В этих двух точках перегиба касательная пересекает кривую. Поскольку форма не меняется, площадь в пределах $k$ стандартных отклонений от среднего не зависит от $\mu$ и $\sigma$: примерно 68.27% в пределах одного, 95.45% — двух и 99.73% — трёх.

Почему более узкая кривая выше? Полная площадь всегда равна 1. «Построение» показывает два шага от стандартной кривой: после сдвига к $\mu$ и растяжения по горизонтали в $\sigma$ раз площадь под кривой равна $\sigma$; если разделить высоту на $\sigma$, площадь снова станет равной 1. Поэтому высота пика равна $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, а уменьшение $\sigma$ вдвое удваивает её. Высота — это плотность, вероятность на единицу $x$. Вероятности соответствуют только площади.

Насколько тонки хвосты? На обычной шкале кажется, что кривая сливается с осью примерно при $3\sigma$, но нуля она не достигает никогда. На логарифмической шкале $\log f$ — квадратичная функция от $x$, поэтому кривая превращается в параболу с ветвями вниз, а хвосты опускаются всё круче. Оба хвоста вместе за пределами $3\sigma$ содержат примерно 0.270% вероятности, за пределами $4\sigma$ — примерно 1 из 15 800, за пределами $6\sigma$ — примерно 1 из 507 миллионов. На логарифмической шкале площадь под кривой уже не равна вероятности, поэтому область отмечена только на шкале $x$.