الارتباط

يقيس معامل الارتباط ⁦$r$⁩ للبيانات المزدوجة، ويسمى أيضًا معامل ارتباط بيرسون، مدى اقتراب النقاط من مستقيم واحد. يتراوح من −1 إلى 1، ويكون موجبًا عندما يميل ⁦$x$⁩ و⁦$y$⁩ إلى الزيادة معًا. هنا تحدد كل نقطة ومركز البيانات مستطيلًا تُقاس أضلاعه بالانحرافات المعيارية، ويكون ⁦$r$⁩ مجموع مساحاتها ذات الإشارة مقسومًا على ⁦$n-1$⁩. يمكنك سحب النقاط وإضافتها وحذفها، وتحميل مجموعات أنسكومب الأربع أو سحابة منشأة بقيمة مختارة من ⁦$r$⁩، ورؤية المربعات التي تحصر ⁦$r$⁩ بين −1 و1.

ماذا يقيس ⁦$r$⁩؟ بالوحدات المعيارية، يبيّن ⁦$z_x$⁩ عدد الانحرافات المعيارية التي تقع بها نقطة يمين متوسط ⁦$x$⁩، ويبيّن ⁦$z_y$⁩ عددها فوق متوسط ⁦$y$⁩. مساحة المستطيل بين النقطة والمركز هي ⁦$|z_x z_y|$⁩. تُحسب موجبة في أعلى اليمين وأسفل اليسار، حيث يقع الإحداثيان على الجانب نفسه من متوسط كل منهما، وسالبة في الركنين الآخرين. ولأن الأضلاع تُقاس بالانحرافات المعيارية، فإن تغيير الوحدات أو تبديل ⁦$x$⁩ و⁦$y$⁩ لا يغيّر ⁦$r$⁩. ويُرسم المخطط بالطريقة نفسها: الانحراف المعياري الواحد له الطول نفسه على المحورين، لذلك يكون الإطار المتقطع مربعًا، وربعه العلوي الأيمن وحدة مساحة واحدة.

لماذا لا يتجاوز ⁦$r$⁩ الحدين ⁦±1⁩؟ ارسم المستقيم ⁦$z_y = z_x$⁩ عبر المركز. مربع مسافة نقطة عنه هو ⁦$(z_y - z_x)^2/2$⁩، ومجموع هذه المربعات مقسومًا على ⁦$n-1$⁩ يعطي ⁦$1 - r$⁩ بالضبط، لأن مجموع ⁦$z_x^2$⁩ ومجموع ⁦$z_y^2$⁩ يساوي كل منهما ⁦$n-1$⁩. وللقطر الآخر، ⁦$z_y = -z_x$⁩، يعطي الحساب نفسه ⁦$1 + r$⁩. المربعات لا تكون سالبة، إذن ⁦$-1 \le r \le 1$⁩. ولا تتحقق ⁦$r = 1$⁩ إلا إذا انعدمت جميع مربعات المسافات إلى ⁦$z_y = z_x$⁩: أي أن كل النقاط تقع على مستقيم صاعد واحد.

كيف تعطي صور مختلفة جدًا القيمة نفسها من ⁦$r$⁩؟ يجمع ⁦$r$⁩ المستطيلات ولا ينظر إلى الشكل. أنشأ الإحصائي فرانسيس أنسكومب عام 1973 أربع مجموعات لها قيم متقاربة جدًا من ⁦$r$⁩ ومتوسطات ومستقيمات ملاءمة متقاربة جدًا: إحداها شريط مستقيم، وأخرى منحنى أملس، وثالثة تتبع مستقيمًا تقريبًا باستثناء نقطة شاذة، وفي الأخيرة تحمل نقطة واحدة معظم المجموع ذي الإشارة. يكبر المستطيل مع حاصل ضرب مسافتي النقطة عن المركز في الاتجاهين، لذا قد توفر نقطة بعيدة معظم المساحة الكلية. وحتى النقاط الواقعة تمامًا على قطع مكافئ قد تحقق ⁦$r = 0$⁩ إذا رُتّبت بتناظر: كل مستطيل على جانب تلغيه صورته المرآتية على الجانب الآخر. يقيس ⁦$r$⁩ العلاقة الخطية فقط.

لماذا نستخدم الوحدات المعيارية؟ تحكم العين على الارتباط من مدى نحافة السحابة الظاهرة، وهذا يتوقف على المحاور: مدّ أحدهما يجعل النقاط نفسها تبدو أنحف أو أكثر استدارة. في تجارب كليفلاند ودياكونيس ومكغيل (1982)، حكم الناس بأن مخططات التشتت نفسها أشد ارتباطًا عندما وُسّعت نطاقات المحاور حولها. تجعل الوحدات المعيارية المحورين قابلين للمقارنة: الانحراف المعياري الواحد له الطول نفسه على كليهما. في هذا الرسم، يقيس ⁦$r$⁩ بالضبط مدى انتشار السحابة عموديًا على القطرين. لكنها لا تجعل العين موثوقة: عند تصغير العرض تبدو السحابة نفسها أكثر تراصًا.