Korelasi

Koefisien korelasi $r$ dari data berpasangan, juga disebut koefisien korelasi Pearson, mengukur seberapa dekat titik-titik mengikuti satu garis lurus. Nilainya berkisar dari −1 hingga 1, positif ketika $x$ dan $y$ cenderung naik bersama. Di sini, setiap titik dan pusat data membentuk persegi panjang dengan sisi yang diukur dalam simpangan baku; $r$ adalah jumlah luas bertandanya dibagi $n-1$. Anda dapat menyeret, menambah, dan menghapus titik, memuat empat kumpulan data Anscombe atau awan titik yang dibuat dengan $r$ pilihan, serta melihat persegi yang menjaga $r$ di antara −1 dan 1.

Apa yang diukur $r$? Dalam satuan baku, $z_x$ menyatakan berapa simpangan baku suatu titik berada di kanan rata-rata $x$, sedangkan $z_y$ menyatakan berapa simpangan baku di atas rata-rata $y$. Persegi panjang antara titik dan pusat memiliki luas $|z_x z_y|$. Luas ini dihitung positif di kanan atas dan kiri bawah, tempat kedua koordinat berada di sisi yang sama dari rata-rata masing-masing, dan negatif di dua sudut lainnya. Karena sisi-sisinya dalam simpangan baku, mengganti satuan atau menukar $x$ dan $y$ tidak mengubah $r$. Grafik digambar dengan cara yang sama: satu simpangan baku memiliki panjang yang sama pada kedua sumbu. Jadi, bingkai putus-putus berbentuk persegi, dan seperempat bagian kanan atasnya merupakan satu satuan luas.

Mengapa $r$ tidak pernah melewati ±1? Gambar garis $z_y = z_x$ melalui pusat. Kuadrat jarak suatu titik ke garis itu adalah $(z_y - z_x)^2/2$. Jumlah kuadrat-kuadrat ini dibagi $n-1$ tepat menghasilkan $1 - r$, karena $z_x^2$ dan $z_y^2$ masing-masing berjumlah $n-1$. Untuk diagonal lain, $z_y = -z_x$, perhitungan yang sama menghasilkan $1 + r$. Kuadrat tidak pernah negatif, jadi $-1 \le r \le 1$. Dan $r = 1$ hanya jika setiap kuadrat jarak ke $z_y = z_x$ nol: semua titik berada pada satu garis yang menanjak.

Mengapa gambar yang sangat berbeda dapat menghasilkan $r$ yang sama? $r$ hanya menjumlahkan persegi panjang tanpa melihat bentuknya. Pada 1973, ahli statistika Francis Anscombe membuat empat kumpulan data dengan $r$, rata-rata, dan garis hasil pencocokan yang hampir sama. Satu berbentuk pita lurus, satu kurva mulus, satu hampir mengikuti garis lurus selain sebuah pencilan, dan satu memiliki satu titik yang menyumbang sebagian besar jumlah bertanda. Persegi panjang membesar sesuai hasil kali dua jarak titik dari pusat, sehingga satu titik jauh dapat menyumbang sebagian besar luas total. Bahkan titik-titik tepat pada parabola dapat memiliki $r = 0$ jika ditempatkan simetris: setiap persegi panjang di satu sisi saling meniadakan dengan bayangan cerminnya di sisi lain. $r$ hanya mengukur hubungan linear.

Mengapa melihatnya dalam satuan baku? Mata menilai korelasi dari seberapa ramping awan titik terlihat, dan ini bergantung pada sumbu. Meregangkan satu sumbu membuat titik-titik yang sama tampak lebih ramping atau lebih bulat. Dalam eksperimen Cleveland, Diaconis, dan McGill (1982), orang menilai diagram pencar yang sama memiliki korelasi lebih kuat ketika rentang sumbu di sekitarnya diperluas. Satuan baku membuat kedua sumbu dapat dibandingkan: satu simpangan baku memiliki panjang yang sama pada keduanya. Dalam gambar itu, penyebaran awan titik dalam arah tegak lurus terhadap kedua diagonal tepat merupakan hal yang diukur $r$. Namun, mata tidak menjadi andal: setelah tampilan diperkecil, awan titik yang sama tetap tampak lebih rapat.