Correlação

O coeficiente de correlação $r$ de dados emparelhados, também chamado coeficiente de Pearson, mede até que ponto os pontos seguem a mesma reta. Varia entre −1 e 1 e é positivo quando $x$ e $y$ tendem a aumentar em conjunto. Aqui, cada ponto e o centro dos dados delimitam um retângulo cujos lados se medem em desvios-padrão; $r$ é a soma das suas áreas com sinal dividida por $n-1$. Pode arrastar, acrescentar e eliminar pontos, carregar os quatro conjuntos de Anscombe ou uma nuvem construída com um $r$ escolhido, e ver os quadrados que mantêm $r$ entre −1 e 1.

O que mede $r$? Em unidades padrão, $z_x$ indica quantos desvios-padrão um ponto está à direita da média de $x$, e $z_y$ quantos está acima da média de $y$. O retângulo entre o ponto e o centro tem área $|z_x z_y|$. Conta como positiva no canto superior direito e no inferior esquerdo, onde as duas coordenadas estão do mesmo lado das respetivas médias, e como negativa nos outros dois cantos. Como os lados se medem em desvios-padrão, mudar de unidades ou trocar $x$ com $y$ não altera $r$. O gráfico segue a mesma regra: um desvio-padrão tem o mesmo comprimento nos dois eixos, pelo que a moldura tracejada é um quadrado, e o seu quarto superior direito é uma unidade de área.

Porque é que $r$ nunca ultrapassa ±1? Trace a reta $z_y = z_x$ pelo centro. O quadrado da distância de um ponto a essa reta é $(z_y - z_x)^2/2$. A soma desses quadrados dividida por $n-1$ dá exatamente $1 - r$, porque os $z_x^2$ e os $z_y^2$ somam, cada um, $n-1$. Para a outra diagonal, $z_y = -z_x$, o mesmo cálculo dá $1 + r$. Os quadrados nunca são negativos, logo $-1 \le r \le 1$. E $r = 1$ só quando todos os quadrados das distâncias a $z_y = z_x$ se anulam: todos os pontos estão numa mesma reta ascendente.

Porque podem figuras muito diferentes dar o mesmo $r$? $r$ soma retângulos sem olhar para a forma. Em 1973, o estatístico Francis Anscombe construiu quatro conjuntos com $r$, médias e reta ajustada quase iguais: um é uma faixa reta, outro uma curva suave, outro segue quase uma reta com exceção de um valor atípico, e no último um único ponto fornece a maior parte da soma com sinal. Um retângulo cresce com o produto das duas distâncias do ponto ao centro; assim, um ponto distante pode fornecer a maior parte da área total. Mesmo pontos exatamente numa parábola podem ter $r = 0$ quando colocados simetricamente: cada retângulo de um lado é anulado pelo seu reflexo do outro. $r$ mede apenas a associação linear.

Porque olhar em unidades padrão? O olho avalia a correlação pela estreiteza aparente da nuvem, que depende dos eixos: esticar um deles faz os mesmos pontos parecerem mais alongados ou mais redondos. Nas experiências de Cleveland, Diaconis e McGill (1982), as pessoas avaliaram os mesmos diagramas como mais correlacionados quando os intervalos dos eixos foram alargados à sua volta. As unidades padrão tornam os eixos comparáveis: um desvio-padrão tem o mesmo comprimento em ambos. Nessa imagem, a dispersão perpendicular às duas diagonais é precisamente o que $r$ mede. Isso não torna o olho fiável: ao afastar a vista, a mesma nuvem continua a parecer mais compacta.