Fungsi kepadatan peluang

Fungsi kepadatan peluang $f$ menggambarkan variabel acak kontinu $X$ melalui luas: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, dengan $f \ge 0$ dan luas total 1. Di sini garis bilangan dibagi menjadi kelas selebar $w$. Setiap batang menunjukkan probabilitas eksak suatu kelas, baik secara langsung maupun setelah dibagi $w$, dan ditumpangkan pada $f$; di bawahnya ada fungsi distribusi kumulatif $F$. Saat batang menunjukkan kepadatan, membagi dua $w$ mendekatkan tinggi batang ke $f$. Ada lima distribusi yang dapat dicoba, termasuk satu yang bisa digambar sendiri.

Apa yang diukur oleh tinggi $f(x)$? Probabilitas per satuan panjang, bukan probabilitas itu sendiri. Probabilitas kelas dibagi lebarnya adalah nilai rata-rata $f$ pada kelas tersebut. Jadi, jika $f$ kontinu di $x$, tinggi batang yang memuat $x$ mendekati $f(x)$ ketika $w$ mengecil, dan untuk interval pendek berlaku $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. Itulah sebabnya kepadatan bisa melebihi 1, sedangkan probabilitas tidak: probabilitas adalah luas, dan daerah yang tinggi tetapi sempit bisa memiliki luas kecil. Satu titik adalah interval dengan lebar 0, sehingga $P(X = x) = 0$ berapa pun nilai $f(x)$. Untuk variabel seperti ini, $\le$ dan $<$ menghasilkan probabilitas yang sama.

Bagaimana kepadatan dan fungsi distribusi kumulatif saling berkaitan? $F(x) = P(X \le x)$ adalah luas di bawah $f$ di sebelah kiri $x$. Jadi, luas pada $[a, b]$ di grafik atas adalah kenaikan $F(b) - F(a)$ di grafik bawah. Probabilitas suatu kelas adalah kenaikan $F$ sepanjang kelas itu. Karena itu, setelah dibagi $w$, tinggi batang menjadi kemiringan sekan $F$ pada kelas tersebut. Ketika $w$ mengecil, sekan mendekati garis singgung: di tempat $f$ kontinu, berlaku $F'(x) = f(x)$, sesuai teorema dasar kalkulus. Di tempat $f$ melompat, seperti di kedua ujung kepadatan seragam, $F$ memiliki sudut. Kemiringan dari kiri dan kanan sama dengan nilai $f$ pada masing-masing sisi. Mengubah $f$ di satu titik tidak mengubah luas apa pun, sehingga tidak ada probabilitas yang berubah.

Mengapa tinggi batang histogram dibagi lebar kelas sebelum dibandingkan dengan kepadatan? Tanpa pembagian itu, batang menunjukkan probabilitas dan mendekati 0 saat kelas menyempit, bukan mendekati $f$. Setelah dibagi $w$, batang sepanjang seluruh garis bilangan memiliki luas total 1, berapa pun lebarnya. Dengan begitu, histogram dengan pembagian kelas berbeda dapat dibandingkan dan ditumpangkan pada $f$. Histogram data bekerja dengan cara yang sama, dengan proporsi sampel dalam setiap kelas menggantikan probabilitas eksaknya.