Intervalle de confiance

Un intervalle de confiance estime un nombre inconnu, ici la moyenne $\mu$ de la population, par une plage calculée à partir d’un échantillon. La règle qui transforme un échantillon en intervalle est fixée à l’avance, et son niveau de confiance, par exemple 95%, est la proportion d’échantillons dont l’intervalle contient la vraie valeur. Sur cette page, chaque échantillon se compose de $n$ tirages indépendants dans une population normale avec $\mu = 50$ et $\sigma = 10$ ; chaque ligne de la pile est l’intervalle d’un échantillon, et la ligne bleue représente $\mu$.

Pourquoi un intervalle ne peut-il pas revendiquer 95% de chances de contenir $\mu$ ? Ici, $\mu$ est un nombre fixe ; c’est l’intervalle qui change d’un échantillon à l’autre. Avant le tirage, la probabilité que son intervalle contienne $\mu$ est de 95% ; après le tirage, cet intervalle contient 50 ou non. La bande montre pourquoi la règle fonctionne quand $\sigma$ est connu. L’intervalle $\bar x \pm \mathrm{ME}$ contient $\mu$ si et seulement si $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, c’est-à-dire si $\bar x$ tombe dans la bande $\mu \pm \mathrm{ME}$, de même largeur. Comme $\bar X$ suit une loi normale d’écart-type $\sigma/\sqrt{n}$, il tombe dans cette bande dans 95% des cas lorsque $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$. Donner une probabilité à $\mu$ lui-même nécessite une loi a priori pour $\mu$ : on obtient alors un intervalle de crédibilité bayésien, une autre construction.

Qu’est-ce qui fixe la largeur ? Si $\sigma$ est connu, la demi-largeur est la marge d’erreur $z^*\sigma/\sqrt{n}$, où $z^*$ laisse la moitié de la probabilité restante dans chaque queue de la loi normale centrée réduite. Chaque pas vers 100% coûte davantage de largeur que le précédent : $z^*$ vaut environ 1,645 à 90%, 2,576 à 99% et 3,29 à 99,9%, et aucun intervalle fini ne garantit 100%. L’erreur-type de la moyenne vaut $\sigma/\sqrt{n}$ (voir distribution d’échantillonnage) ; à niveau fixé, la largeur diminue donc proportionnellement à $1/\sqrt{n}$. La couverture ne change pas avec $n$ : la marge se mesure toujours en unités de dispersion de $\bar x$.

Pourquoi un $\sigma$ inconnu nécessite-t-il $t$ ? Remplacer $\sigma$ par le $s$ de l’échantillon rend aléatoires le centre et la largeur. Un échantillon dont le $s$ est petit reçoit un intervalle court : les échecs se concentrent donc parmi les intervalles courts. Avec $z^*$, la couverture est $2F_{n-1}(z^*) - 1$, inférieure au niveau choisi, où $F_{n-1}$ est la fonction de répartition de la loi $t$ de Student à $n - 1$ degrés de liberté. Pour des données normales, c’est la loi de $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$. Ses queues sont plus lourdes que celles de la normale : son quantile $t^*$ est donc supérieur à $z^*$, et $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ atteint exactement la couverture annoncée. Corriger seulement la moyenne de $s$ ne suffit pas : $s/c_4$ estime $\sigma$ sans biais, mais, utilisé avec $z^*$ à un niveau nominal de 95%, ne couvre encore qu’environ 89,5% des cas pour $n = 5$. Quand $n$ augmente, $s$ se stabilise près de $\sigma$ et $t^*$ se rapproche de $z^*$.