신뢰구간

신뢰구간은 한 표본에서 계산한 범위로 미지의 수를 추정합니다. 여기서는 모평균 $\mu$를 추정합니다. 표본을 구간으로 바꾸는 규칙은 미리 고정하며, 95% 같은 신뢰수준은 표본을 반복해서 뽑을 때 구간이 참값을 포함하는 비율입니다. 이 페이지에서는 $\mu = 50$, $\sigma = 10$인 정규 모집단에서 독립적으로 $n$번 뽑은 값이 한 표본을 이룹니다. 쌓인 구간의 각 행은 한 표본에 해당하며, 파란 선은 $\mu$입니다.

한 구간이 $\mu$를 포함할 확률이 95%라고 할 수 없는 이유는 무엇일까요? 여기서 $\mu$는 고정된 수이고, 표본마다 바뀌는 것은 구간입니다. 표본을 뽑기 전에는 그 구간이 $\mu$를 포함할 확률이 95%입니다. 뽑은 뒤에는 그 구간이 50을 포함하거나 포함하지 않을 뿐입니다. 띠를 보면 $\sigma$를 알 때 이 규칙이 성립하는 이유를 알 수 있습니다. 구간 $\bar x \pm \mathrm{ME}$가 $\mu$를 포함하는 것은 $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$인 것, 즉 $\bar x$가 같은 폭의 띠 $\mu \pm \mathrm{ME}$ 안에 들어가는 것과 동치입니다. $\bar X$는 표준편차가 $\sigma/\sqrt{n}$인 정규분포를 따르므로 $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$일 때 이 띠에 들어갈 확률이 95%입니다. $\mu$ 자체에 확률을 부여하려면 $\mu$의 사전분포가 필요합니다. 이는 베이즈 신용구간이라는 다른 구성입니다.

폭은 무엇이 정할까요? $\sigma$를 알 때 반폭은 오차한계 $z^*\sigma/\sqrt{n}$입니다. $z^*$는 표준정규분포의 양쪽 꼬리에 남은 확률의 절반씩을 남기는 점입니다. 100%에 가까워질수록 한 단계 더 높이는 데 필요한 폭의 증가가 커집니다. $z^*$는 90%에서 약 1.645, 99%에서 2.576, 99.9%에서 3.29이며, 유한한 구간으로 100%를 보장할 수는 없습니다. 평균의 표준오차는 $\sigma/\sqrt{n}$입니다(표집분포 참조). 따라서 신뢰수준이 고정되어 있으면 폭은 $1/\sqrt{n}$에 비례해 줄어듭니다. 포함확률은 $n$에 따라 바뀌지 않습니다. 오차한계는 항상 $\bar x$의 퍼짐을 단위로 측정하기 때문입니다.

$\sigma$를 모르면 왜 $t$가 필요할까요? $\sigma$ 대신 표본의 $s$를 넣으면 중심과 폭이 모두 무작위로 바뀝니다. $s$가 작게 나온 표본의 구간은 짧으므로, 참값을 놓치는 구간은 짧은 쪽에 몰립니다. $z^*$를 쓰면 포함확률은 $2F_{n-1}(z^*) - 1$로 신뢰수준보다 낮습니다. 여기서 $F_{n-1}$은 자유도가 $n - 1$인 스튜던트 $t$분포의 누적분포함수입니다. 정규 데이터에서는 $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$이 이 분포를 따릅니다. 정규분포보다 꼬리가 두꺼워 분위점 $t^*$가 $z^*$보다 크며, $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$의 포함확률은 신뢰수준과 정확히 같습니다. $s$의 평균만 보정해서는 부족합니다. $s/c_4$는 $\sigma$의 불편추정량이지만, $z^*$와 함께 명목 신뢰수준 95%로 써도 $n = 5$에서는 포함확률이 약 89.5%에 불과합니다. $n$이 커지면 $s$는 $\sigma$ 근처에 안정되고 $t^*$는 $z^*$에 가까워집니다.